Номер 31, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В треугольнике $ABC$ $AB = 25$ см, $BC = 20$ см и $AC = 30$ см. На стороне $AB$ отложен отрезок $BK = 4$ см, а на стороне $BC$ взята точка $L$ таким образом, что угол $BKL$ равен углу $C$ треугольника $ABC$. Найдите периметр треугольника $BKL$.

Дано:
Треугольник $ABC$
$AB = 25$ см
$BC = 20$ см
$AC = 30$ см
$K \in AB$, $BK = 4$ см
$L \in BC$
$\angle BKL = \angle C$

Найти:
Периметр треугольника $BKL$ ($P_{BKL}$)

Решение:
Рассмотрим два треугольника: $\triangle BKL$ и $\triangle BCA$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников ($\angle KBL = \angle CBA$).
2. По условию задачи, угол $\angle BKL$ равен углу $\angle C$ треугольника $ABC$ (то есть $\angle BKL = \angle BCA$).

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle BKL$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle BCA$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

$\triangle BKL \sim \triangle BCA$

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$ \frac{BK}{BC} = \frac{BL}{BA} = \frac{KL}{CA} $

Подставим известные значения в это соотношение:

$ \frac{4}{20} = \frac{BL}{25} = \frac{KL}{30} $

Упростим первое отношение, чтобы найти коэффициент подобия $k$:

$ k = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $

Теперь мы можем найти длины неизвестных сторон треугольника $BKL$:

Из пропорции $ \frac{BL}{25} = \frac{1}{5} $ находим $BL$:
$ BL = 25 \cdot \frac{1}{5} = 5 $ см.

Из пропорции $ \frac{KL}{30} = \frac{1}{5} $ находим $KL$:
$ KL = 30 \cdot \frac{1}{5} = 6 $ см.

Периметр треугольника $BKL$ равен сумме длин его сторон:

$ P_{BKL} = BK + BL + KL $

$ P_{BKL} = 4 + 5 + 6 = 15 $ см.

Ответ: 15 см.