Номер 25, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Докажите, что равнобедренные треугольники подобны, если углы при их вершинах, противолежащих основаниям, равны.

Доказательство

Пусть даны два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$. Вершина, противолежащая основанию в $\triangle ABC$ — это $B$, а в $\triangle A_1B_1C_1$ — это $B_1$.

По условию задачи, углы при этих вершинах равны, то есть $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, в $\triangle ABC$ имеем $\angle BAC = \angle BCA$, и в $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1$.

Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$.

Для треугольника $\triangle ABC$ справедливо равенство: $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$. Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$, можно записать: $2 \cdot \angle BAC + \angle ABC = 180^\circ$. Отсюда выразим угол при основании: $\angle BAC = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2}$.

Аналогично для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$: $\angle B_1A_1C_1 + \angle A_1B_1C_1 + \angle B_1C_1A_1 = 180^\circ$. Поскольку $\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1C_1A_1$, можно записать: $2 \cdot \angle B_1A_1C_1 + \angle A_1B_1C_1 = 180^\circ$. Отсюда выразим угол при основании: $\angle B_1A_1C_1 = \frac{180^\circ - \angle A_1B_1C_1}{2}$.

Так как по условию $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$, то правые части в формулах для углов при основании равны. Следовательно, равны и сами углы: $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Мы установили, что у них есть две пары соответственно равных углов:

1. $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (по условию).

2. $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (из доказанного выше).

Согласно первому признаку подобия треугольников (по двум углам), если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Таким образом, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в двух равнобедренных треугольниках равны углы при вершине, то равны и углы при основании (каждый из них равен $(180^\circ - \alpha)/2$, где $\alpha$ - угол при вершине). Таким образом, все три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого, и по признаку подобия по двум углам треугольники подобны.