Номер 23, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

23. Стороны треугольника равны 10, 15 и 20. Произведение сторон подобного ему треугольника равно 24. Найдите стороны второго треугольника.

Пусть стороны первого треугольника равны $a_1 = 10$, $b_1 = 15$ и $c_1 = 20$. Пусть стороны второго треугольника, который подобен первому, равны $a_2$, $b_2$ и $c_2$.

Поскольку треугольники подобны, отношение их соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$:
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k$

Отсюда мы можем выразить стороны второго треугольника через стороны первого и коэффициент подобия $k$:
$a_2 = k \cdot a_1 = 10k$
$b_2 = k \cdot b_1 = 15k$
$c_2 = k \cdot c_1 = 20k$

Согласно условию задачи, произведение сторон второго треугольника равно 24:
$a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = 24$

Подставим в это уравнение выражения для сторон второго треугольника:
$(10k) \cdot (15k) \cdot (20k) = 24$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:
$10 \cdot 15 \cdot 20 \cdot k^3 = 24$
$3000 \cdot k^3 = 24$
$k^3 = \frac{24}{3000}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 24:
$k^3 = \frac{1}{125}$

Найдем коэффициент подобия $k$, извлекая кубический корень из обеих частей уравнения:
$k = \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{1}{5}$

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти длины сторон второго треугольника:
$a_2 = 10 \cdot k = 10 \cdot \frac{1}{5} = 2$
$b_2 = 15 \cdot k = 15 \cdot \frac{1}{5} = 3$
$c_2 = 20 \cdot k = 20 \cdot \frac{1}{5} = 4$

Проверим результат: произведение найденных сторон $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$, что соответствует условию задачи.

Ответ: стороны второго треугольника равны 2, 3 и 4.