Номер 17, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

17. На рисунке 14.10 $DE = 6$, $AB = 10$, $AE = 12$, $AB$ параллельна $CD$. Найдите $CD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle DCE$. По условию задачи, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB \parallel CD$). Будем считать, что точка $E$ является точкой пересечения прямых $AD$ и $BC$, которые выступают в роли секущих для параллельных прямых $AB$ и $CD$.

Так как треугольники образованы параллельными прямыми и секущими, они являются подобными. Докажем это по первому признаку подобия треугольников (по двум углам):

1. Углы $\angle AEB$ и $\angle DEC$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AD$ и $BC$.

2. Углы $\angle BAE$ (или $\angle EAB$) и $\angle CDE$ (или $\angle EDC$) равны, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AD$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны: $\triangle ABE \sim \triangle DCE$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон. Сторона $AE$ треугольника $\triangle ABE$ соответствует стороне $DE$ треугольника $\triangle DCE$, а сторона $AB$ соответствует стороне $DC$. Запишем соотношение для этих пар сторон:

$\frac{AE}{DE} = \frac{AB}{DC}$

Подставим в это равенство известные значения из условия задачи: $AE = 12$, $DE = 6$ и $AB = 10$.

$\frac{12}{6} = \frac{10}{CD}$

Упростим левую часть пропорции:

$2 = \frac{10}{CD}$

Теперь из этого уравнения найдем длину неизвестной стороны $CD$:

$2 \cdot CD = 10$

$CD = \frac{10}{2}$

$CD = 5$

Ответ: $5$.