Номер 13, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Подобны ли два треугольника, если их стороны имеют длины:

а) 4, 5, 6 и 8, 10, 12;

б) 3, 4, 6 и 9, 15, 18;

в) 1, 2, 2 и 1, 1, 0,5?

Два треугольника подобны по третьему признаку подобия (по трём сторонам), если их соответственные стороны пропорциональны. Это означает, что отношения длин соответственных сторон должны быть равны некоторому числу $k$ — коэффициенту подобия. Чтобы проверить это, нужно упорядочить стороны каждого треугольника (например, по возрастанию) и найти отношения длин соответственных сторон.

а) Даны два треугольника со сторонами 4, 5, 6 и 8, 10, 12.
Упорядочим стороны каждого треугольника по возрастанию. Они уже упорядочены:
Стороны первого треугольника: $a_1 = 4, b_1 = 5, c_1 = 6$.
Стороны второго треугольника: $a_2 = 8, b_2 = 10, c_2 = 12$.
Проверим пропорциональность сторон, найдя их отношения:
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{8}{4} = 2$
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{10}{5} = 2$
$\frac{c_2}{c_1} = \frac{12}{6} = 2$
Все отношения равны 2. Так как $\frac{8}{4} = \frac{10}{5} = \frac{12}{6} = 2$, стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны.
Ответ: да, подобны.

б) Даны два треугольника со сторонами 3, 4, 6 и 9, 15, 18.
Упорядочим стороны каждого треугольника по возрастанию. Они уже упорядочены:
Стороны первого треугольника: $a_1 = 3, b_1 = 4, c_1 = 6$.
Стороны второго треугольника: $a_2 = 9, b_2 = 15, c_2 = 18$.
Проверим пропорциональность сторон:
$\frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{3} = 3$
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{15}{4} = 3.75$
$\frac{c_2}{c_1} = \frac{18}{6} = 3$
Так как отношения сторон не равны ($3 \ne 3.75$), стороны треугольников не являются пропорциональными. Следовательно, треугольники не подобны.
Ответ: нет, не подобны.

в) Даны два треугольника со сторонами 1, 2, 2 и 1, 1, 0,5.
Упорядочим стороны каждого треугольника по возрастанию:
Стороны первого треугольника: 1, 2, 2.
Стороны второго треугольника: 0,5, 1, 1.
Проверим пропорциональность сторон. Для этого найдем отношение соответственных сторон большего треугольника к сторонам меньшего.
Отношение наименьших сторон: $\frac{1}{0.5} = 2$
Отношение средних сторон: $\frac{2}{1} = 2$
Отношение наибольших сторон: $\frac{2}{1} = 2$
Все отношения равны 2. Так как $\frac{1}{0.5} = \frac{2}{1} = \frac{2}{1} = 2$, стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны.
Ответ: да, подобны.