Номер 12, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Найдите другие стороны второго треугольника.

12. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ $\angle A = \angle A_1$, $AB = 4$, $AC = 6$, $BC = 5$, $A_1B_1 = 6$, $A_1C_1 = 9$. Найдите сторону $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию задачи, нам известно, что $\angle A = \angle A_1$. Также даны длины сторон: $AB = 4$, $AC = 6$, $BC = 5$ для треугольника $ABC$, и $A_1B_1 = 6$, $A_1C_1 = 9$ для треугольника $A_1B_1C_1$.

Проверим, являются ли треугольники подобными по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними). Для этого необходимо, чтобы две стороны одного треугольника были пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, были равны.

Условие равенства углов ($\angle A = \angle A_1$) выполняется. Теперь найдем отношение длин соответственных сторон, прилежащих к этим углам:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$\frac{A_1C_1}{AC} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Поскольку отношения соответственных сторон равны ($\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC}$) и углы между ними равны, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$). Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{3}{2}$.

В подобных треугольниках отношение всех соответственных сторон равно коэффициенту подобия. Значит, отношение третьих сторон $B_1C_1$ и $BC$ также равно $k$:

$\frac{B_1C_1}{BC} = k$

Подставим известные значения и найдем длину стороны $B_1C_1$:

$B_1C_1 = BC \cdot k = 5 \cdot \frac{3}{2} = 7.5$

Ответ: 7.5