Номер 8, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В подобных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$, $AB = 8 \text{ см}$, $BC = 10 \text{ см}$, $A_1B_1 = 5,6 \text{ см}$, $A_1C_1 = 10,5 \text{ см}$. Найдите $AC$ и $B_1C_1$.

Поскольку треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, их соответственные стороны пропорциональны. Это означает, что отношение длин соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$.

Соотношение сторон можно записать в виде пропорции:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Сначала найдем коэффициент подобия $k$, используя известные длины соответственных сторон $AB$ и $A_1B_1$.

$k = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{8}{5,6}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$k = \frac{8 \cdot 10}{5,6 \cdot 10} = \frac{80}{56}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 8:

$k = \frac{80 \div 8}{56 \div 8} = \frac{10}{7}$

Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти длины неизвестных сторон.

Нахождение AC:

Используем часть пропорции, связывающую стороны $AC$ и $A_1C_1$:

$\frac{AC}{A_1C_1} = k$

Подставим известные значения $A_1C_1 = 10,5$ см и $k = \frac{10}{7}$:

$\frac{AC}{10,5} = \frac{10}{7}$

Выразим $AC$ из этой пропорции:

$AC = \frac{10}{7} \cdot 10,5 = \frac{10 \cdot 10,5}{7} = \frac{105}{7} = 15$ см.

Нахождение B₁C₁:

Используем часть пропорции, связывающую стороны $BC$ и $B_1C_1$:

$\frac{BC}{B_1C_1} = k$

Подставим известные значения $BC = 10$ см и $k = \frac{10}{7}$:

$\frac{10}{B_1C_1} = \frac{10}{7}$

Из этого равенства следует, что если числители равны, то и знаменатели должны быть равны:

$B_1C_1 = 7$ см.

Ответ: $AC = 15$ см, $B_1C_1 = 7$ см.