Номер 24, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

24. У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основание одного треугольника равны соответственно 17 см и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.

Пусть дан первый равнобедренный треугольник, назовем его $\triangle ABC$, где $AB$ и $AC$ — боковые стороны, а $BC$ — основание. По условию, $AB = AC = 17$ см, а $BC = 10$ см. Угол между боковыми сторонами — это угол $\angle BAC$.

Пусть второй равнобедренный треугольник — это $\triangle A'B'C'$, где $A'B'$ и $A'C'$ — боковые стороны, а $B'C'$ — основание. По условию, $B'C' = 8$ см. Нам нужно найти длину боковой стороны, обозначим ее за $x$, то есть $A'B' = A'C' = x$. Угол между его боковыми сторонами — это $\angle B'A'C'$.

В условии сказано, что углы между боковыми сторонами у этих треугольников равны: $\angle BAC = \angle B'A'C'$.

Рассмотрим признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

В нашем случае:

1. Углы между боковыми сторонами равны: $\angle BAC = \angle B'A'C'$.

2. Стороны, образующие эти углы, — это боковые стороны треугольников. Проверим их пропорциональность:

$\frac{A'B'}{AB} = \frac{x}{17}$

$\frac{A'C'}{AC} = \frac{x}{17}$

Так как отношения равны ($\frac{x}{17} = \frac{x}{17}$), то боковые стороны пропорциональны.

Поскольку два условия выполнены, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ подобны ($\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$).

У подобных треугольников отношение всех соответственных сторон равно коэффициенту подобия. Это означает, что отношение оснований равно отношению боковых сторон:

$\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC}$

Подставим известные значения в эту пропорцию:

$\frac{x}{17} = \frac{8}{10}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$x = 17 \cdot \frac{8}{10}$

$x = 17 \cdot 0.8$

$x = 13.6$

Таким образом, боковая сторона второго треугольника равна 13,6 см.

Ответ: 13,6 см.