Номер 27, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что треугольники ВСЕ и BDE подобны.

27. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся
как соответствующие стороны.

Рассмотрим два подобных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть стороны первого треугольника равны $a, b, c$ (где $a=BC, b=AC, c=AB$), а соответствующие им стороны второго треугольника равны $a_1, b_1, c_1$ (где $a_1=B_1C_1, b_1=A_1C_1, c_1=A_1B_1$).

Периметр треугольника $\triangle ABC$ равен $P = a + b + c$. Периметр треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ равен $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$.

По определению, у подобных треугольников ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$) отношение длин соответствующих сторон является постоянной величиной, называемой коэффициентом подобия $k$: $ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = k $

Из этого соотношения мы можем выразить длины сторон треугольника $\triangle ABC$ через длины сторон треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ и коэффициент подобия $k$: $ a = k \cdot a_1 $, $ b = k \cdot b_1 $, $ c = k \cdot c_1 $.

Теперь найдем отношение периметров этих двух треугольников. Для этого подставим полученные выражения для сторон $a, b, c$ в формулу периметра $P$: $ \frac{P}{P_1} = \frac{a + b + c}{a_1 + b_1 + c_1} = \frac{k \cdot a_1 + k \cdot b_1 + k \cdot c_1}{a_1 + b_1 + c_1} $

В числителе вынесем общий множитель $k$ за скобки: $ \frac{P}{P_1} = \frac{k(a_1 + b_1 + c_1)}{a_1 + b_1 + c_1} $

Так как периметр треугольника всегда является положительной величиной ($a_1 + b_1 + c_1 = P_1 > 0$), мы можем сократить дробь на выражение $(a_1 + b_1 + c_1)$: $ \frac{P}{P_1} = k $

Мы знаем, что коэффициент подобия $k$ также равен отношению длин соответствующих сторон, то есть $k = \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}$. Следовательно, мы можем записать итоговое равенство: $ \frac{P}{P_1} = \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} $

Таким образом, мы доказали, что периметры подобных треугольников относятся так же, как их соответствующие стороны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их соответствующих сторон, то есть коэффициенту подобия.