Номер 33, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

33. Наблюдатель, находящийся в пункте

A (рис. 14.16), видит конец шеста C и

верхнюю точку D мачты, расположен-

ными на одной прямой. Какова высота мачты, если $AE = 60$ м, $AB = 6$ м и $BC = 3$ м?

Рис. 14.16

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADE $, показанные на рисунке.

По условию задачи шест $BC$ и мачта $DE$ перпендикулярны земле, на которой лежат точки $A$, $B$ и $E$. Следовательно, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADE $ являются прямоугольными: $ \angle ABC = 90^\circ $ и $ \angle AED = 90^\circ $.

Поскольку наблюдатель в точке $A$ видит конец шеста $C$ и верхнюю точку мачты $D$ на одной прямой, то точки $A$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой. Это означает, что угол при вершине $A$ (то есть $ \angle BAC $ или $ \angle DAE $) является общим для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADE $ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников), так как у них есть общий острый угол ($ \angle A $) и оба они прямоугольные.

Из подобия треугольников $ \triangle ABC \sim \triangle ADE $ следует, что отношение их соответствующих катетов равно:

$ \frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AE} $

Нам нужно найти высоту мачты $DE$. Выразим $DE$ из данной пропорции:

$ DE = \frac{BC \cdot AE}{AB} $

Подставим в формулу известные значения из условия: $ AE = 60 $ м, $ AB = 6 $ м и $ BC = 3 $ м.

$ DE = \frac{3 \cdot 60}{6} = \frac{180}{6} = 30 $ м.

Ответ: высота мачты составляет 30 м.