Номер 26, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $BE$ (рис. 14.14). Докажите, что треугольники $ACD$ и $BCE$ подобны.

Рис. 14.14

Чтобы доказать, что треугольники $ACD$ и $BCE$ подобны, воспользуемся первым признаком подобия треугольников (по двум равным углам).

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCE$:

1. Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников. Следовательно, $\angle ACD = \angle BCE$.

2. По условию задачи, $AD$ и $BE$ являются высотами треугольника $ABC$. По определению высоты, отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, является высотой, если он перпендикулярен этой прямой. Таким образом, $AD \perp BC$ и $BE \perp AC$.

Из этого следует, что треугольники $ACD$ и $BCE$ являются прямоугольными. В треугольнике $ACD$ угол $\angle ADC = 90^\circ$. В треугольнике $BCE$ угол $\angle BEC = 90^\circ$.

Следовательно, мы имеем вторую пару равных углов: $\angle ADC = \angle BEC = 90^\circ$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\angle ACD$ и $\angle ADC$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\angle BCE$ и $\angle BEC$), то треугольники $ACD$ и $BCE$ подобны по первому признаку подобия.

Ответ: Треугольники $ACD$ и $BCE$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам), так как у них есть общий угол $\angle C$ и по одному прямому углу ($\angle ADC = 90^\circ$ и $\angle BEC = 90^\circ$). Что и требовалось доказать.