Номер 29, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

29. На одной стороне угла $A$ отложены отрезки $AB = 5$ см и $AC = 16$ см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки $AD = 8$ см и $AE = 10$ см. Подобны ли треугольники $ACD$ и $ABE$?

Для решения этой задачи воспользуемся вторым признаком подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Этот признак гласит: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники $ACD$ и $ABE$.

1. Угол $A$ является общим для обоих треугольников, то есть $\angle CAD = \angle BAE$.

2. Проверим пропорциональность сторон, образующих этот угол.
В треугольнике $ACD$ стороны, прилежащие к углу $A$, это $AC = 16$ см и $AD = 8$ см.
В треугольнике $ABE$ стороны, прилежащие к углу $A$, это $AE = 10$ см и $AB = 5$ см.

Чтобы треугольники были подобны, отношения их соответствующих сторон должны быть равны. Сравним отношение большей стороны одного треугольника к большей стороне другого и, соответственно, меньшей к меньшей.
Большая сторона в $\triangle ACD$ — $AC=16$. Большая сторона в $\triangle ABE$ — $AE=10$.
Меньшая сторона в $\triangle ACD$ — $AD=8$. Меньшая сторона в $\triangle ABE$ — $AB=5$.

Найдем отношения этих сторон:
$\frac{AC}{AE} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
$\frac{AD}{AB} = \frac{8}{5}$

Поскольку отношения сторон равны $\frac{AC}{AE} = \frac{AD}{AB}$, а угол $A$ между этими сторонами является общим, то треугольники подобны по второму признаку подобия. Точнее, $\triangle ACD \sim \triangle AEB$.

Ответ: Да, треугольники $ACD$ и $ABE$ подобны.