Номер 35, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

35. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.

Для решения этой задачи используется принцип подобия треугольников. Мы можем представить данную ситуацию как два прямоугольных треугольника, вложенных один в другой.

Пусть $H$ – высота, на которой висит фонарь ($H = 5,4$ м), $h$ – рост человека ($h = 1,8$ м), $d$ – расстояние от человека до столба ($d = 12$ м), и $x$ – искомая длина тени человека в метрах.

Большой прямоугольный треугольник образуется фонарным столбом (катет $H$), поверхностью земли от столба до конца тени (катет $d + x$) и лучом света от фонаря до конца тени (гипотенуза).

Малый прямоугольный треугольник образуется человеком (катет $h$), его тенью (катет $x$) и лучом света от фонаря, проходящим над головой человека (гипотенуза).

Эти два треугольника подобны, так как у них есть общий острый угол (угол падения луча света на землю) и оба они имеют прямой угол (между столбом/человеком и землей).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Составим пропорцию, приравняв отношение высот (вертикальных катетов) к отношению длин оснований (горизонтальных катетов):

$\frac{H}{h} = \frac{d+x}{x}$

Подставим известные числовые значения в уравнение:

$\frac{5,4}{1,8} = \frac{12+x}{x}$

Упростим левую часть уравнения:

$3 = \frac{12+x}{x}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Умножим обе части на $x$:

$3x = 12+x$

Перенесем $x$ в левую часть:

$3x - x = 12$

$2x = 12$

Найдем $x$:

$x = \frac{12}{2}$

$x = 6$

Таким образом, длина тени человека составляет 6 метров.

Ответ: 6