Номер 42, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

42. Монумент “Қазақ елі” — одна из достопримечательностей г. Нур-Султана (рис. 14.23, а). Высота белоснежной стелы напоминает о годе, когда Казахстан стал независимым государством. Стела, устремленная вверх, на вершине которой установлена священная птица Самрук (рис. 14.23, б), демонстрирует стремление казахстанцев к дальнейшему развитию и процветанию.

a)

б)

Рис. 14.23

Как можно вычислить высоту монумента с помощью зеркала (рис. 14.24)? Какие измерения при этом надо выполнить?

Рис. 14.24

Как можно вычислить высоту монумента с помощью зеркала?

Для вычисления высоты монумента можно использовать метод, основанный на законе отражения света и свойстве подобных треугольников. Порядок действий следующий:
1. На ровной горизонтальной поверхности между наблюдателем и основанием монумента кладется небольшое плоское зеркало (точка $D$ на рис. 14.24).
2. Наблюдатель должен отойти от зеркала на такое расстояние, чтобы, глядя в его центр, увидеть отражение самой верхней точки монумента (точка $F$).
3. При таком расположении образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle BCD$ и $\triangle FED$. В этих треугольниках:
• $BC$ – это высота от земли до уровня глаз наблюдателя.
• $FE$ – это искомая высота монумента.
• $BD$ – это расстояние по земле от наблюдателя до зеркала (на рисунке обозначено как $AD$, предполагая, что наблюдатель стоит вертикально).
• $ED$ – это расстояние по земле от зеркала до основания монумента.
4. Согласно закону отражения света, угол падения луча света на зеркало равен углу отражения. Для лучей, идущих от вершины монумента ($F$) к глазу наблюдателя ($C$), это означает, что углы, которые эти лучи образуют с поверхностью земли (и зеркала), равны. На рисунке это углы $\angle 1$ и $\angle 2$, то есть $\angle BDC = \angle FDE$.
5. Поскольку наблюдатель и монумент стоят перпендикулярно земле, треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle FED$ являются прямоугольными ($\angle B = 90^\circ$, $\angle E = 90^\circ$). Так как у них есть пара равных острых углов ($\angle BDC = \angle FDE$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
6. Из подобия треугольников $\triangle BCD \sim \triangle FED$ следует, что их соответствующие стороны пропорциональны:
$\frac{FE}{BC} = \frac{ED}{BD}$
7. Из этой пропорции можно выразить высоту монумента $FE$. Используя обозначения с рисунка ($BD = AD$):
$FE = BC \cdot \frac{ED}{AD}$
Таким образом, измерив три доступные величины ($BC$, $AD$, $ED$), можно рассчитать высоту монумента.
Ответ: Высоту монумента можно вычислить, используя свойство подобия двух прямоугольных треугольников, которые образуются при отражении вершины монумента в зеркале, расположенном на земле. Высота находится по формуле $FE = BC \cdot \frac{ED}{AD}$, где $FE$ - высота монумента, $BC$ - высота глаз наблюдателя, $AD$ - расстояние от наблюдателя до зеркала, $ED$ - расстояние от зеркала до основания монумента.

Какие измерения при этом надо выполнить?

Для вычисления высоты монумента по указанной выше формуле необходимо с помощью рулетки или другого измерительного инструмента выполнить следующие три измерения:
1. Высота до уровня глаз наблюдателя ($BC$): расстояние по вертикали от поверхности земли до глаз человека, проводящего измерение.
2. Расстояние от наблюдателя до зеркала ($AD$): расстояние по земле от точки, где стоит наблюдатель, до центра зеркала.
3. Расстояние от зеркала до основания монумента ($ED$): расстояние по земле от центра зеркала до центра основания монумента.
Ответ: Необходимо измерить: 1) высоту от земли до уровня глаз наблюдателя; 2) расстояние от наблюдателя до зеркала; 3) расстояние от зеркала до основания монумента.