Номер 47, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

47. В треугольник $ABC$ вписан ромб $ADEF$ так, что угол $A$ у них общий, а вершина $E$ находится на стороне $BC$ (рис. 14.27). Найдите сторону ромба, если $AB = c$ и $AC = b$.

Рис. 14.27

Пусть сторона ромба ADEF равна $x$. По определению ромба, все его стороны равны, то есть $AD = DE = EF = FA = x$. Также, по свойству ромба, его противолежащие стороны параллельны: $DE \parallel AF$ и $EF \parallel AD$.

Поскольку вершина F лежит на стороне AC, а вершина D — на стороне AB, то прямая AF является частью прямой AC, а прямая AD — частью прямой AB. Следовательно, из параллельности сторон ромба вытекает, что $EF \parallel AB$ и $DE \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle CEF$ и $\triangle CAB$. Так как $EF \parallel AB$, эти треугольники подобны по двум углам: угол $\angle C$ у них общий, а угол $\angle CFE$ равен углу $\angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AB$ и секущей $AC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{CF}{CA} = \frac{EF}{AB}$

По условию задачи нам даны длины сторон $AC = b$ и $AB = c$. Сторона ромба $EF = x$. Длина отрезка $CF$ равна разности длин $AC$ и $AF$. Так как $AF$ является стороной ромба, $AF = x$. Следовательно, $CF = AC - AF = b - x$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{b - x}{b} = \frac{x}{c}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$c \cdot (b - x) = b \cdot x$

$bc - cx = bx$

$bc = bx + cx$

$bc = x(b + c)$

$x = \frac{bc}{b + c}$

Таким образом, сторона ромба найдена.

Ответ: $\frac{bc}{b+c}$