Проверь себя!, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. При параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ прямая переходит сама в себя тогда и только тогда, когда вектор переноса $\vec{a}$ коллинеарен этой прямой (т.е. параллелен ей). Вектор нормали к прямой по определению перпендикулярен самой прямой. Следовательно, если прямая параллельна вектору $\vec{a}$, то ее вектор нормали должен быть перпендикулярен вектору $\vec{a}$.
Ответ: А) вектор нормали прямой перпендикулярен вектору $\vec{a}$;

2. При осевой симметрии относительно оси $l$ в себя переходят: 1) сама ось симметрии $l$; 2) любая прямая $m$, перпендикулярная оси $l$. Из предложенных вариантов подходит Б.
Ответ: B) перпендикулярные оси симметрии;

3. Осью симметрии для прямой является сама эта прямая, а также любая прямая, ей перпендикулярная. Поскольку перпендикулярных прямых к данной можно провести бесконечно много, то и осей симметрии у прямой бесконечно много.
Ответ: C) бесконечно много;

4. Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Единственной осью симметрии для луча является прямая, содержащая этот луч. При отражении относительно этой прямой каждая точка луча переходит в себя.
Ответ: А) одну;

5. Центром симметрии фигуры называется точка, относительно которой симметрична каждая точка фигуры. Для прямой любая ее точка является центром симметрии. Поскольку на прямой бесконечное число точек, у нее бесконечно много центров симметрии.
Ответ: C) бесконечно много;

6. У луча есть начальная точка. Если предположить, что у луча есть центр симметрии, то при симметрии относительно этой точки начальная точка луча перешла бы в другую точку, которая также должна принадлежать лучу, что невозможно. Следовательно, у луча нет центра симметрии.
Ответ: D) ни одного?

7. При повороте прямой вокруг точки на угол, отличный от $180°$ и $360°$, новая прямая будет пересекать исходную. Чтобы получить прямую, параллельную данной, необходимо повернуть ее на $180°$. При таком повороте каждая точка прямой перейдет в точку, лежащую на прямой, параллельной исходной.
Ответ: D) 180°?

8. Порядок поворотной симметрии фигуры — это количество раз, которое фигура совпадает сама с собой при полном обороте на $360°$. Квадрат совпадает с собой при поворотах на $90°$, $180°$, $270°$ и $360°$ вокруг точки пересечения диагоналей. Наименьший угол поворота — $90°$. Порядок симметрии равен $360° / 90° = 4$. Значит, это центр симметрии четвертого порядка.
Ответ: C) четвертого;

9. Правильный треугольник имеет центр симметрии третьего порядка. Он совмещается сам с собой при поворотах на углы, кратные $360° / 3 = 120°$. Наименьший положительный угол поворота равен $120°$.
Ответ: D) 120°?

10. Правильный n-угольник имеет n осей симметрии. Для правильного шестиугольника (n=6) существует 6 осей симметрии: три проходят через противоположные вершины, и еще три — через середины противоположных сторон.
Ответ: D) 6?

11. Рассмотрим движения:1. Центральная симметрия (поворот на 180°): прямая, проходящая через центр, переходит в себя; прямая, не проходящая через центр, — в параллельную ей. Подходит.2. Параллельный перенос: прямая переходит в параллельную ей или в себя (если вектор переноса ей параллелен). Подходит.3. Осевая симметрия: прямая, пересекающая ось под острым углом, переходит в непараллельную ей прямую. Не подходит.Следовательно, подходят центральная симметрия и параллельный перенос.
Ответ: А) при центральной симметрии и параллельном переносе;

12. Пусть в $\triangle ABC$ ($\angle C=90°$) проведена высота $CH$. Образуются три треугольника: $\triangle ABC$, $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$. Все они подобны друг другу: $\triangle ACH \sim \triangle ABC$, $\triangle CBH \sim \triangle ABC$, и $\triangle ACH \sim \triangle CBH$. Таким образом, образуется 3 пары подобных треугольников.
Ответ: B) 3;

13. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным (геометрическим) отрезков, на которые она делит гипотенузу. Формула: $CH^2 = AH \cdot BH$.Подставляем данные: $CH^2 = 3 \cdot 6 = 18$.$CH = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см.
Ответ: A) $3\sqrt{2}$ см;

14. Найдем гипотенузу первого треугольника по теореме Пифагора: $c_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ см.Второй треугольник подобен первому, его гипотенуза $c_2 = 6$ см. Коэффициент подобия $k = c_2 / c_1 = 6/5 = 1.2$.Катеты второго треугольника равны:$a_2 = 3 \cdot 1.2 = 3.6$ см.$b_2 = 4 \cdot 1.2 = 4.8$ см.
Ответ: C) 3,6 см и 4,8 см;

15. Периметр первого треугольника $P_1 = 2 + 3 + 4 = 9$ см. Большая сторона первого треугольника равна 4 см. Соответствующая ей сторона второго треугольника равна 36 см. Коэффициент подобия $k = 36 / 4 = 9$.Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Периметр второго треугольника $P_2 = P_1 \cdot k = 9 \cdot 9 = 81$ см.
Ответ: B) 81 см;

16. Так как $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия $k$ можно найти из отношения известных соответственных сторон $BC$ и $B_1C_1$:$k = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.Найдем остальные стороны треугольника $A_1B_1C_1$:$A_1B_1 = AB \cdot k = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см.$A_1C_1 = AC \cdot k = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5$ см.
Ответ: D) 2 см и 1,5 см.

17. Наиболее вероятная трактовка условия заключается в том, что один из полученных параллелограммов подобен исходному. Пусть стороны исходного параллелограмма $L$ и $W$. Разделим его прямой, параллельной стороне $W$. Получим два параллелограмма, один из которых (меньший) имеет стороны $W$ и $x$ (где $x$ - часть стороны $L$). По условию, он подобен исходному.$\frac{L}{W} = \frac{W}{x}$.Стороны меньшего параллелограмма равны 4 см и 6 см, то есть $\{W, x\} = \{4, 6\}$.Если $W=6, x=4$: $\frac{L}{6} = \frac{6}{4} \implies L = \frac{36}{4} = 9$. Стороны исходного параллелограмма 9 и 6. Его периметр $P = 2(9+6) = 30$ см.Если $W=4, x=6$: $\frac{L}{4} = \frac{4}{6} \implies L = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$. Этот случай невозможен, так как $x < L$ ($6 < 8/3$ - неверно).Значит, периметр равен 30 см.
Ответ: C) 30 см;

18. Пусть основания исходной трапеции $a=3$ см и $b=12$ см. Прямая, параллельная основаниям, делит ее на две подобные трапеции. Пусть $x$ — длина их общего основания. Для подобных трапеций отношение их оснований одинаково.Для первой трапеции основания 3 и $x$. Для второй — $x$ и 12.Составляем пропорцию: $\frac{3}{x} = \frac{x}{12}$.Отсюда $x^2 = 3 \cdot 12 = 36$, значит $x=6$ см.
Ответ: A) 6 см;

19. Пусть $ABCD$ - параллелограмм, $O$ - точка пересечения диагоналей. Точки деления диагоналей $AC$ и $BD$ образуют новый четырехугольник $PQRS$. Можно показать, что этот четырехугольник является параллелограммом, подобным исходному. Его вершины находятся на полудиагоналях на расстоянии $1/3$ от центра $O$. Коэффициент подобия нового параллелограмма к исходному равен $1/3$. Следовательно, его периметр также в 3 раза меньше.$P_{new} = \frac{1}{3} P_{ABCD} = \frac{96}{3} = 32$ см.
Ответ: C) 32 см;

20. Пусть сторона данного квадрата равна $a$. Вершины нового квадрата являются серединами его сторон. Сторона нового квадрата $s$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $a/2$ и $a/2$.По теореме Пифагора: $s^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.$s = \frac{a}{\sqrt{2}}$.Коэффициент подобия $k$ — это отношение стороны нового квадрата к стороне данного:$k = \frac{s}{a} = \frac{a/\sqrt{2}}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: B) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;