Номер 3, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В треугольнике ABC даны две стороны $BC = 3$, $AC = 3\sqrt{2}$ и $\angle A$, равный $45^\circ$. Найдите угол $B$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для треугольника ABC это записывается так:$ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $

В условии задачи нам даны следующие значения:

• Сторона $BC = 3$
• Сторона $AC = 3\sqrt{2}$
• Угол $\angle A = 45^\circ$

Возьмем часть теоремы синусов, которая связывает известные нам величины:$ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} $

Подставим в это уравнение известные нам значения сторон и угла:$ \frac{3}{\sin(45^\circ)} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin(\angle B)} $

Теперь выразим из этого уравнения $\sin(\angle B)$:$ \sin(\angle B) = \frac{AC \cdot \sin(\angle A)}{BC} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)}{3} $

Мы знаем табличное значение синуса угла 45 градусов: $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Подставим его в нашу формулу:$ \sin(\angle B) = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{3} $

Сократим тройки в числителе и знаменателе и выполним умножение:$ \sin(\angle B) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2} = 1 $

Мы получили, что $\sin(\angle B) = 1$. В треугольнике угол может иметь значение от 0° до 180°. Единственный угол в этом диапазоне, синус которого равен единице, это 90°. Следовательно, $\angle B = 90^\circ$.

Ответ: $\angle B = 90^\circ$.