Номер 7, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Диагональ параллелограмма равна $c$ и образует со сторонами этого параллелограмма углы $\Phi$ и $\Psi$. Выразите стороны параллелограмма через $c$, $\Phi$ и $\Psi$.

Пусть дан параллелограмм, стороны которого равны $a$ и $b$, а диагональ равна $c$. По условию, эта диагональ образует со сторонами $a$ и $b$ углы $\Phi$ и $\Psi$ соответственно.

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Рассмотрим один из них. Стороны этого треугольника — это стороны параллелограмма $a$ и $b$ и его диагональ $c$.

В данном треугольнике нам известна сторона $c$. Угол, противолежащий стороне $b$, равен $\Phi$. Стороны параллелограмма параллельны, поэтому диагональ является секущей. Угол $\Psi$, который диагональ образует со второй стороной параллелограмма ($b$), является накрест лежащим с углом, противолежащим стороне $a$ в нашем треугольнике. Таким образом, угол напротив стороны $a$ равен $\Psi$.

Третий угол треугольника, который лежит напротив стороны (диагонали) $c$, можно найти, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Этот угол равен $180^\circ - (\Phi + \Psi)$.

Теперь мы можем применить теорему синусов к этому треугольнику. Теорема гласит, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равно:

$\frac{a}{\sin \Psi} = \frac{b}{\sin \Phi} = \frac{c}{\sin(180^\circ - (\Phi + \Psi))}$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, мы можем упростить знаменатель последней дроби:

$\sin(180^\circ - (\Phi + \Psi)) = \sin(\Phi + \Psi)$

Таким образом, соотношение принимает вид:

$\frac{a}{\sin \Psi} = \frac{b}{\sin \Phi} = \frac{c}{\sin(\Phi + \Psi)}$

Из этого равенства выразим стороны $a$ и $b$:

$a = \frac{c \sin \Psi}{\sin(\Phi + \Psi)}$

$b = \frac{c \sin \Phi}{\sin(\Phi + \Psi)}$

Ответ: Стороны параллелограмма равны $\frac{c \sin \Phi}{\sin(\Phi + \Psi)}$ и $\frac{c \sin \Psi}{\sin(\Phi + \Psi)}$.