Номер 5, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите отношения сторон $AC : BC$ и $AB : BC$ в треугольнике $ABC$, в котором:

a) $ \angle A = 45^{\circ}, \angle B = 30^{\circ} $;

б) $ \angle A = 120^{\circ}, \angle B = 30^{\circ} $.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что для произвольного треугольника отношение длин сторон к синусам противолежащих углов постоянно. Для треугольника $ABC$ со сторонами $AC$, $BC$, $AB$ и противолежащими углами $B$, $A$, $C$ соответственно, теорема записывается так:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

Также нам понадобится тот факт, что сумма углов в любом треугольнике равна $180°$.

а) Дано: $∠A = 45°$, $∠B = 30°$.

1. Найдем третий угол треугольника, угол $C$:

$∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 45° - 30° = 105°$.

2. Найдем отношение сторон $AC : BC$. Из теоремы синусов имеем:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

Выразим отношение $\frac{AC}{BC}$:

$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\sin 30°}{\sin 45°}$

Подставим известные значения синусов $\sin 30° = \frac{1}{2}$ и $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\frac{AC}{BC} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Таким образом, отношение $AC : BC = 1 : \sqrt{2}$.

3. Найдем отношение сторон $AB : BC$. Из теоремы синусов имеем:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$

Выразим отношение $\frac{AB}{BC}$:

$\frac{AB}{BC} = \frac{\sin C}{\sin A} = \frac{\sin 105°}{\sin 45°}$

Для вычисления $\sin 105°$ используем формулу синуса суммы углов: $\sin(60°+45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45°$.

$\sin 105° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Подставим значения в отношение:

$\frac{AB}{BC} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})/4}{\sqrt{2}/2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Таким образом, отношение $AB : BC = (\sqrt{3} + 1) : 2$.

Ответ: $AC : BC = 1 : \sqrt{2}$; $AB : BC = (\sqrt{3} + 1) : 2$.

б) Дано: $∠A = 120°$, $∠B = 30°$.

1. Найдем третий угол треугольника, угол $C$:

$∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 120° - 30° = 30°$.

Поскольку $∠B = ∠C = 30°$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, а это значит, что боковые стороны $AC$ и $AB$ равны ($AC = AB$).

2. Найдем отношение сторон $AC : BC$. По теореме синусов:

$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\sin 30°}{\sin 120°}$

Подставим известные значения синусов $\sin 30° = \frac{1}{2}$ и $\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\frac{AC}{BC} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Таким образом, отношение $AC : BC = 1 : \sqrt{3}$.

3. Найдем отношение сторон $AB : BC$. Поскольку $AC = AB$, отношение $AB : BC$ будет таким же, как и $AC : BC$.

$\frac{AB}{BC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Таким образом, отношение $AB : BC = 1 : \sqrt{3}$.

Ответ: $AC : BC = 1 : \sqrt{3}$; $AB : BC = 1 : \sqrt{3}$.