Номер 1, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В треугольнике $ABC$ $AB=6$, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$. Найдите сторону $BC$.

Для нахождения стороны $BC$ треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны.

Формула теоремы синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

В нашем случае, $a = BC$, $c = AB$, $\angle A$ и $\angle C$ — это углы, противолежащие этим сторонам соответственно.

Согласно условию задачи, мы имеем:

$AB = 6$

$\angle A = 45^\circ$

$\angle C = 60^\circ$

Запишем соотношение для известных нам сторон и углов по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AB}{\sin \angle C}$

Подставим в это уравнение известные нам значения:

$\frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin 60^\circ}$

Теперь выразим искомую сторону $BC$:

$BC = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}$

Известно, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в формулу:

$BC = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Упростим выражение, сократив $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе:

$BC = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$BC = \frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3}$

Сократим полученную дробь:

$BC = 2\sqrt{6}$

Ответ: $2\sqrt{6}$.