Страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Длина тени, отбрасываемой деревом, равна 8 м, в то время как длина тени палки, воткнутой вертикально в землю, равна 2 м. Определите высоту дерева, если длина палки равна 1 м.

Для решения этой задачи используется принцип подобия треугольников. Поскольку дерево и палка стоят вертикально, а солнечные лучи в один и тот же момент времени падают параллельно, образуются два подобных прямоугольных треугольника. У одного треугольника катетами являются высота дерева и длина его тени, а у другого — высота палки и длина ее тени.

Из подобия треугольников следует, что отношение высоты объекта к длине его тени будет одинаковым для обоих случаев. Составим пропорцию:

$\frac{\text{Высота дерева}}{\text{Длина тени дерева}} = \frac{\text{Высота палки}}{\text{Длина тени палки}}$

Пусть $H$ — искомая высота дерева. Подставим известные значения в формулу:

Длина тени дерева = $8$ м
Высота палки = $1$ м
Длина тени палки = $2$ м

Получаем уравнение:

$\frac{H}{8} = \frac{1}{2}$

Чтобы найти высоту дерева, выразим $H$:

$H = \frac{1}{2} \cdot 8$

$H = 4$ м

Ответ: 4 м.

35. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4 м. Найдите длину тени человека в метрах.

Для решения этой задачи используется принцип подобия треугольников. Мы можем представить данную ситуацию как два прямоугольных треугольника, вложенных один в другой.

Пусть $H$ – высота, на которой висит фонарь ($H = 5,4$ м), $h$ – рост человека ($h = 1,8$ м), $d$ – расстояние от человека до столба ($d = 12$ м), и $x$ – искомая длина тени человека в метрах.

Большой прямоугольный треугольник образуется фонарным столбом (катет $H$), поверхностью земли от столба до конца тени (катет $d + x$) и лучом света от фонаря до конца тени (гипотенуза).

Малый прямоугольный треугольник образуется человеком (катет $h$), его тенью (катет $x$) и лучом света от фонаря, проходящим над головой человека (гипотенуза).

Эти два треугольника подобны, так как у них есть общий острый угол (угол падения луча света на землю) и оба они имеют прямой угол (между столбом/человеком и землей).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Составим пропорцию, приравняв отношение высот (вертикальных катетов) к отношению длин оснований (горизонтальных катетов):

$\frac{H}{h} = \frac{d+x}{x}$

Подставим известные числовые значения в уравнение:

$\frac{5,4}{1,8} = \frac{12+x}{x}$

Упростим левую часть уравнения:

$3 = \frac{12+x}{x}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Умножим обе части на $x$:

$3x = 12+x$

Перенесем $x$ в левую часть:

$3x - x = 12$

$2x = 12$

Найдем $x$:

$x = \frac{12}{2}$

$x = 6$

Таким образом, длина тени человека составляет 6 метров.

Ответ: 6

36. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

Для решения этой задачи используется принцип подобия треугольников. Мы можем представить данную ситуацию геометрически.

Создается два прямоугольных треугольника:
1. Большой треугольник, образованный столбом с фонарем (вертикальный катет), расстоянием от основания столба до конца тени человека (горизонтальный катет) и лучом света (гипотенуза).
2. Маленький треугольник, образованный человеком (вертикальный катет), его тенью (горизонтальный катет) и лучом света (гипотенуза).

Так как человек и столб стоят вертикально (перпендикулярно земле), они параллельны друг другу. Луч света от фонаря, проходящий над головой человека, создает подобные треугольники, потому что у них есть общий острый угол у земли и по одному прямому углу.

Введем обозначения:
$H$ — высота фонаря на столбе (искомая величина).
$h$ — рост человека, $h = 1,7$ м.
$d$ — расстояние от столба до человека, $d = 8$ шагов.
$s$ — длина тени человека, $s = 4$ шага.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Составим пропорцию, приравняв отношение высот (вертикальных катетов) к отношению оснований (горизонтальных катетов):
$\frac{H}{h} = \frac{d + s}{s}$

Длина основания большого треугольника — это сумма расстояния от столба до человека и длины тени: $d + s = 8 + 4 = 12$ шагов.

Подставим известные значения в пропорцию. Единицы измерения "шаги" сократятся, поэтому их не нужно переводить в метры.
$\frac{H}{1,7} = \frac{12}{4}$

Упростим правую часть уравнения:
$\frac{H}{1,7} = 3$

Теперь найдем высоту фонаря $H$, умножив обе части уравнения на $1,7$:
$H = 3 \times 1,7 = 5,1$ м.

Ответ: 5,1.

37. Карандаш длиной 15 см, помещенный вертикально в полуметре от свечи, бросает на стену тень длиной 75 см. Определите расстояние свечи от стены.

Для решения этой задачи используется принцип подобия треугольников, который следует из закона прямолинейного распространения света. Представим свечу как точечный источник света. Лучи, исходящие от свечи, проходят мимо верхушки карандаша и создают на стене верхнюю точку тени. Аналогично формируется и нижняя точка тени.

В результате образуются два подобных прямоугольных треугольника. Первый треугольник имеет катеты: расстояние от свечи до карандаша ($d$) и высоту самого карандаша ($h$). Второй треугольник имеет катеты: расстояние от свечи до стены ($D$) и высоту тени ($H$).

Введем обозначения для известных величин:
Высота карандаша: $h = 15$ см.
Высота тени на стене: $H = 75$ см.
Расстояние от свечи до карандаша: $d = 0,5$ м $= 50$ см.

Искомая величина — это расстояние от свечи до стены, которое мы обозначим как $D$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Таким образом, отношение высоты тени к высоте карандаша равно отношению расстояния от свечи до стены к расстоянию от свечи до карандаша:

$\frac{H}{h} = \frac{D}{d}$

Чтобы найти $D$, выразим его из этой пропорции:

$D = d \cdot \frac{H}{h}$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу и выполним вычисления:

$D = 50 \text{ см} \cdot \frac{75 \text{ см}}{15 \text{ см}}$

Сначала вычислим отношение высот:

$\frac{75}{15} = 5$

Теперь умножим это значение на расстояние от свечи до карандаша:

$D = 50 \text{ см} \cdot 5 = 250 \text{ см}$

Полученное расстояние можно также перевести в метры: $250$ см $= 2,5$ м.

Ответ: расстояние свечи от стены равно 2,5 м.

38. Окжетпес — величественная скала (в переводе на русский язык — “не долетит стрела”), расположенная на берегу озера Боровое — Аулиеколь (священное озеро) (рис. 14.17).

(Изображение Рис. 14.17 является фотографией и не может быть конвертировано в SVG или отображено с использованием разрешенных тегов.)

Рис. 14.17

По свидетельствам, об этой скале было сложено более 16 легенд и сказаний. Наблюдатель, находящийся у подножия горы в пункте А (рис. 14.18), видит конец шеста С и верхнюю точку D скалы, расположенными на одной прямой. Найдите высоту скалы от подножия, если $AE = 500$ м, $AB = 6$ м и $BC = 3$ м.

Рис. 14.18

Для решения этой задачи используется свойство подобия треугольников. На рисунке 14.18 изображены два треугольника: ΔABC и ΔADE. Оба треугольника являются прямоугольными, поскольку шест BC и скала DE стоят перпендикулярно к земле, следовательно, углы ∠ABC и ∠AED равны 90°. Угол при вершине A является общим для обоих треугольников. Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то ΔABC и ΔADE подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$ \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AB} $

В задаче даны следующие значения: высота шеста BC = 3 м, расстояние от наблюдателя до шеста AB = 6 м, расстояние от наблюдателя до подножия скалы AE = 500 м. Необходимо найти высоту скалы DE, которую обозначим как h.

Подставим известные значения в пропорцию:

$ \frac{h}{3} = \frac{500}{6} $

Теперь решим полученное уравнение относительно h:

$ h = 3 \cdot \frac{500}{6} $

$ h = \frac{1500}{6} $

$ h = 250 $ м

Ответ: высота скалы составляет 250 м.