Страница 84 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

40. Дворец мира и согласия — пирамида — одна из достопримечательностей столицы Республики Казахстан. Пирамида стала символом единения различных религий, этносов и культур, открытости народа и государства всему миру (рис. 14.20).

Рис. 14.20

Длина тени, отбрасываемой пирамидой, равна 93 м, в то время как длина тени палки, воткнутой вертикально в землю, равна 3 м (рис. 14.21). Определите высоту пирамиды, если длина палки равна 2 м.

Рис. 14.21

Для решения данной задачи используется принцип подобия треугольников. Мы можем предположить, что солнечные лучи падают на землю параллельно друг другу. Следовательно, угол, который образует солнечный луч с горизонтальной поверхностью, будет одинаковым как для пирамиды, так и для палки.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника, которые изображены на рисунке 14.21:

1. Треугольник $ABC$, образованный палкой и ее тенью. Катет $AB$ — это высота палки ($AB = 2$ м), а катет $BC$ — это длина ее тени ($BC = 3$ м).

2. Треугольник $DEF$, образованный пирамидой и ее тенью. Катет $DE$ — это высота пирамиды (обозначим ее как $h$), а катет $EF$ — это длина ее тени ($EF = 93$ м).

Поскольку и палка, и пирамида стоят вертикально, углы $ABC$ и $DEF$ являются прямыми ($90^\circ$). Углы $ACB$ и $DFE$ (углы падения солнечных лучей) равны. Таким образом, треугольники $ABC$ и $DEF$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно. То есть, отношение высоты объекта к длине его тени будет одинаковым для обоих объектов:

$\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC}$

Подставим известные значения в эту пропорцию:

$\frac{h}{2} = \frac{93}{3}$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти высоту пирамиды $h$:

$h = 2 \times \frac{93}{3}$

$h = 2 \times 31$

$h = 62$

Следовательно, высота пирамиды составляет 62 метра.

Ответ: 62 м.

41. Для определения высоты дерева можно использовать зеркало так, как показано на рисунке 14.22. Луч света FD, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека (точка B).

Определите высоту дерева, если $AC = 165$ см, $BC = 12$ см, $AD = 120$ см, $DE = 4,8$ м, $\angle 1 = \angle 2$.

Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. На рисунке мы видим два треугольника: $△ABD$ и $△FED$.

Предполагается, что человек и дерево стоят вертикально, то есть перпендикулярно поверхности земли. Это означает, что $AB$ (высота глаз человека) перпендикулярна земле $AE$, а $FE$ (высота дерева) также перпендикулярна земле. Следовательно, треугольники $△ABD$ и $△FED$ являются прямоугольными, с прямыми углами при вершинах $A$ и $E$ соответственно: $∠BAD = 90°$ и $∠FED = 90°$.

По закону отражения света, угол падения равен углу отражения. В данном случае это означает, что углы, которые образуют лучи света с поверхностью зеркала, равны. В условии задачи это отражено как $∠1 = ∠2$.

Таким образом, мы имеем два треугольника ($△ABD$ и $△FED$) с двумя парами равных углов:

1. $∠BAD = ∠FED = 90°$
2. $∠1 = ∠2$ (или $∠ADB = ∠FDE$)

Следовательно, треугольники $△ABD$ и $△FED$ подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам): $△ABD \sim △FED$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно:

$\frac{FE}{AB} = \frac{DE}{AD}$

Прежде чем составить пропорцию, найдем все необходимые величины и приведем их к единой системе измерений (сантиметрам).

Высота глаз человека ($AB$) равна его росту ($AC$) за вычетом расстояния от глаз до макушки ($BC$):

$AB = AC - BC = 165 \text{ см} - 12 \text{ см} = 153 \text{ см}$

Расстояние от человека до зеркала: $AD = 120 \text{ см}$.

Расстояние от зеркала до дерева: $DE = 4,8 \text{ м}$. Переведем в сантиметры:

$DE = 4,8 \times 100 = 480 \text{ см}$

Теперь подставим известные значения в пропорцию для нахождения высоты дерева $FE$:

$\frac{FE}{153} = \frac{480}{120}$

Упростим правую часть уравнения:

$\frac{480}{120} = 4$

Пропорция принимает вид:

$\frac{FE}{153} = 4$

Отсюда находим высоту дерева $FE$:

$FE = 153 \times 4 = 612 \text{ см}$

Высоту дерева можно также выразить в метрах: $612 \text{ см} = 6,12 \text{ м}$.

Ответ: высота дерева равна $612$ см.