Номер 19, страница 95 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В треугольнике $ABC$ $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$, $AH$ — высота (рис. 15.11). Выразите через $a$, $b$ и угол $C$ отрезки $AH$, $CH$, $BH$. Используя эти выражения, найдите выражение $c^2$ через $a$, $b$ и косинус угла $C$.

В заданном треугольнике $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$, проведена высота $AH$. Это означает, что $AH$ перпендикулярна $BC$, и, следовательно, треугольники $AHC$ и $AHB$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $H$.

Выражение отрезка AH

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. В нём $AC = b$ — гипотенуза, а $AH$ — катет, противолежащий углу $C$. По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin C = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC} = \frac{AH}{b}$

Из этого соотношения выражаем $AH$:

$AH = b \cdot \sin C$

Ответ: $AH = b \sin C$.

Выражение отрезка CH

В том же прямоугольном треугольнике $AHC$, отрезок $CH$ — это катет, прилежащий к углу $C$. По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos C = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{AC} = \frac{CH}{b}$

Отсюда выражаем $CH$:

$CH = b \cdot \cos C$

Ответ: $CH = b \cos C$.

Выражение отрезка BH

Точка $H$ лежит на стороне $BC$. Длина отрезка $BC$ равна $a$. Исходя из рисунка (где угол $C$ острый), длина отрезка $BC$ складывается из длин отрезков $CH$ и $BH$: $BC = CH + BH$.

$a = CH + BH$

Подставляем ранее найденное выражение для $CH$ и выражаем $BH$:

$BH = a - CH = a - b \cos C$

Ответ: $BH = a - b \cos C$.

Нахождение выражения для c²

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник, $AHB$. В нём $AB = c$ — гипотенуза, а $AH$ и $BH$ — катеты. Применим теорему Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$c^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим в это уравнение выражения для $AH$ и $BH$, которые мы нашли ранее:

$c^2 = (b \sin C)^2 + (a - b \cos C)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$c^2 = b^2 \sin^2 C + (a^2 - 2ab \cos C + b^2 \cos^2 C)$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $b^2$:

$c^2 = a^2 + b^2 \sin^2 C + b^2 \cos^2 C - 2ab \cos C$

Вынесем $b^2$ за скобки:

$c^2 = a^2 + b^2 (\sin^2 C + \cos^2 C) - 2ab \cos C$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$:

$c^2 = a^2 + b^2 \cdot 1 - 2ab \cos C$

Таким образом, мы получаем итоговое выражение, известное как теорема косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Ответ: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.