Номер 30, страница 137 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

30. Луна видна с Земли под углом $0,5^\circ$. Найдите приближенное расстояние до Луны, зная, что ее диаметр приближенно равен 3400 км. В ответе укажите целое число километров (примите $\pi \approx 3$).

Для решения этой задачи воспользуемся моделью, в которой диаметр Луны можно рассматривать как длину дуги окружности. Наблюдатель на Земле находится в центре этой окружности, а ее радиусом является искомое расстояние до Луны. Для малых углов, каким является угловой размер Луны, эта аппроксимация является достаточно точной.

Связь между длиной дуги ($D$), радиусом ($L$) и центральным углом, выраженным в радианах ($\alpha_{рад}$), описывается формулой:

$D \approx L \cdot \alpha_{рад}$

Из этой формулы мы можем выразить расстояние до Луны $L$:

$L \approx \frac{D}{\alpha_{рад}}$

Нам даны следующие значения:

Диаметр Луны $D = 3400$ км.

Угловой размер Луны $\alpha = 0,5^{\circ}$.

Приближенное значение числа $\pi \approx 3$.

Первым шагом необходимо перевести угловой размер Луны из градусов в радианы по формуле $\alpha_{рад} = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}$.

Подставляем известные значения:

$\alpha_{рад} \approx 0,5 \cdot \frac{3}{180} = \frac{1,5}{180} = \frac{15}{1800} = \frac{1}{120}$ радиан.

Теперь мы можем рассчитать приблизительное расстояние до Луны $L$, подставив значения $D$ и $\alpha_{рад}$ в нашу формулу:

$L \approx \frac{3400 \text{ км}}{\frac{1}{120}} = 3400 \cdot 120 = 408000$ км.

Согласно условию, в ответе необходимо указать целое число километров. Полученное значение является целым.

Ответ: 408000.