Номер 33, страница 137 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

33. Повторите понятие площади.

Понятие площади

Площадь — это положительная величина, численная характеристика, которая сопоставляется плоским геометрическим фигурам. Проще говоря, площадь показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины (например, квадратный метр, квадратный сантиметр).

Основные свойства площади:

1. Равные фигуры имеют равные площади. Если две фигуры можно совместить наложением (конгруэнтны), то их площади равны.

2. Площадь всегда неотрицательна. Площадь любой фигуры является положительным числом, либо нулем (для точки или отрезка).

3. Аддитивность. Если фигура разбита на несколько непересекающихся (не имеющих общих внутренних точек) фигур, то её общая площадь равна сумме площадей её частей.

4. Нормировка. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице.

Формулы для вычисления площадей основных геометрических фигур:

Прямоугольник: Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон. Если стороны равны $a$ и $b$, то площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = a \cdot b$

Квадрат: Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами. Если сторона квадрата равна $a$, то его площадь $S$ равна:
$S = a^2$

Треугольник:
- Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Если основание равно $a$, а высота — $h_a$, то:
$S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$
- Формула Герона (если известны все три стороны $a, b, c$):
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.
- Через две стороны и угол между ними ($\gamma$):
$S = \frac{1}{2} ab \sin\gamma$

Параллелограмм: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведенную к этому основанию.
$S = a \cdot h_a$
Также площадь можно найти как произведение двух смежных сторон на синус угла между ними:
$S = ab \sin\alpha$

Трапеция: Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту. Если основания равны $a$ и $b$, а высота — $h$, то:
$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Ромб:
- Через диагонали $d_1$ и $d_2$: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$
- Через сторону $a$ и угол $\alpha$ между сторонами:
$S = a^2 \sin\alpha$

Круг: Площадь круга радиусом $R$ вычисляется по формуле:
$S = \pi R^2$, где $\pi \approx 3.14159$ — математическая константа.

Ответ: В ответе представлен развернутый обзор понятия площади, её основных свойств и формул для вычисления площадей ключевых геометрических фигур.