Номер 32, страница 137 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

32. Используя циркуль и линейку, постройте правильный:
а) треугольник;
б) четырехугольник;
в) шестиугольник.

а) треугольник

Построение правильного (равностороннего) треугольника выполняется следующим образом:

1. С помощью линейки проведите произвольный отрезок. Обозначим его концы буквами A и B. Этот отрезок будет одной из сторон будущего треугольника.
2. Возьмите циркуль и установите его раствор равным длине отрезка AB.
3. Установите иглу циркуля в точку A и проведите дугу окружности радиусом AB.
4. Не меняя раствора циркуля, установите его иглу в точку B и проведите еще одну дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку пересечения дуг обозначим буквой C.
5. С помощью линейки соедините точку C с точками A и B.

В результате мы получили треугольник ABC. По построению, $AC = AB$ и $BC = AB$. Таким образом, все три стороны треугольника равны: $AB = BC = AC$. Треугольник, у которого все стороны равны, является правильным.

Ответ: Построен треугольник ABC, который является правильным, так как все его стороны равны.

б) четырехугольник

Построение правильного четырехугольника (квадрата) выполняется следующим образом:

1. С помощью линейки проведите произвольный отрезок AB, который будет одной из сторон квадрата.
2. Постройте прямую, перпендикулярную отрезку AB и проходящую через точку A. Для этого:
а) Установите иглу циркуля в точку A и проведите дугу, пересекающую отрезок AB в точке M и его продолжение за точку А в точке N.
б) Увеличьте раствор циркуля. Постройте две дуги с центрами в точках M и N так, чтобы они пересекались. Точку их пересечения обозначим K.
в) С помощью линейки проведите луч AK. Этот луч перпендикулярен отрезку AB.
3. Установите раствор циркуля равным длине отрезка AB.
4. Установите иглу циркуля в точку A и отложите на луче AK отрезок, равный AB. Точку пересечения дуги и луча обозначим D. Мы получили сторону AD, равную и перпендикулярную AB.
5. Не меняя раствора циркуля, установите иглу в точку D и проведите дугу.
6. Затем установите иглу циркуля в точку B и проведите еще одну дугу так, чтобы она пересеклась с дугой из точки D. Точку пересечения обозначим C.
7. С помощью линейки соедините точку C с точками B и D.

В результате мы получили четырехугольник ABCD. По построению, $AB \perp AD$, и все стороны равны $AB = AD = DC = CB$. Четырехугольник с равными сторонами и прямым углом является квадратом, то есть правильным четырехугольником.

Ответ: Построен четырехугольник ABCD, который является правильным (квадратом).

в) шестиугольник

Построение правильного шестиугольника основано на свойстве, что сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности.

1. Выберите на плоскости произвольную точку O — центр будущей окружности.
2. С помощью циркуля проведите окружность произвольного радиуса R с центром в точке O.
3. Выберите на окружности произвольную точку A. Это будет первая вершина шестиугольника.
4. Не меняя раствор циркуля (он должен оставаться равным радиусу R), установите иглу в точку A и проведите дугу, пересекающую окружность. Точку пересечения обозначим B.
5. Переместите иглу циркуля в точку B и снова проведите дугу, пересекающую окружность в новой точке C.
6. Повторяйте этот шаг, последовательно находя точки D, E и F. После шести таких шагов последняя дуга, проведенная из точки F, должна пересечь окружность в исходной точке A.
7. С помощью линейки последовательно соедините точки A, B, C, D, E, F.

Полученная фигура ABCDEF является правильным шестиугольником, так как все его стороны равны радиусу описанной окружности ($AB = BC = CD = DE = EF = FA = R$), и, следовательно, все его внутренние углы также равны.

Ответ: Построен шестиугольник ABCDEF, который является правильным.