Номер 34, страница 137 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Найдите площади правильных шестиугольников, вписанного и описанного около окружности, радиусом 1.

вписанного
Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус этой окружности $R$ (называемый радиусом описанной окружности) равен стороне шестиугольника $a$.
По условию задачи, радиус окружности равен 1, то есть $R=1$. Следовательно, сторона вписанного шестиугольника $a = 1$.
Правильный шестиугольник можно разбить на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника.
Площадь одного такого равностороннего треугольника $S_{\triangle}$ вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Подставляя $a=1$, получаем площадь одного треугольника: $S_{\triangle} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Площадь всего шестиугольника $S_{впис}$ равна сумме площадей шести таких треугольников:
$S_{впис} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

описанного
Для правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус этой окружности $r$ (называемый радиусом вписанной окружности) является апофемой шестиугольника. Апофема — это перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на его сторону. В случае правильного шестиугольника, апофема равна высоте одного из 6 равносторонних треугольников, на которые можно его разбить.
По условию, радиус окружности равен 1, то есть $r=1$.
Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ связана со стороной формулой: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
В нашем случае высота треугольника равна радиусу вписанной окружности: $h = r = 1$.
$1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Отсюда находим сторону описанного шестиугольника $a$:
$a = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.
Теперь найдем площадь шестиугольника. Площадь правильного многоугольника можно вычислить как половину произведения его периметра $P$ на радиус вписанной окружности $r$: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$.
Периметр $P = 6a = 6 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$.
Подставляем значения в формулу площади:
$S_{опис} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$.
Ответ: $2\sqrt{3}$.