Номер 27, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Через концы дуги в $50^\circ$ проведены касательные. Найдите угол между ними.

Пусть окружность имеет центр в точке $O$. Обозначим концы дуги как точки $A$ и $B$. По условию, градусная мера дуги $AB$ равна $50^\circ$. Через точки $A$ и $B$ проведены касательные к окружности, которые пересекаются в некоторой точке $C$. Требуется найти угол между этими касательными, то есть $\angle ACB$.

Для нахождения угла $\angle ACB$ рассмотрим четырехугольник $OACB$, образованный точками касания $A$ и $B$, центром окружности $O$ и точкой пересечения касательных $C$.

1. Центральный угол $\angle AOB$ опирается на дугу $AB$. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, $\angle AOB = 50^\circ$.

2. По свойству касательных, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому радиус $OA$ перпендикулярен касательной $AC$, а радиус $OB$ перпендикулярен касательной $BC$. Это означает, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми:$\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$.

3. Сумма углов в любом выпуклом четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника $OACB$ запишем равенство:$\angle ACB + \angle OAC + \angle AOB + \angle OBC = 360^\circ$

Подставим известные значения углов в это уравнение:$\angle ACB + 90^\circ + 50^\circ + 90^\circ = 360^\circ$

Теперь решим уравнение относительно $\angle ACB$:$\angle ACB + 230^\circ = 360^\circ$$\angle ACB = 360^\circ - 230^\circ$$\angle ACB = 130^\circ$

Ответ: $130^\circ$.