Номер 31, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

31. Найдите угол $ACD$, если его сторона $CA$ касается окружности, сторона $CD$ проходит через центр окружности, а дуга $\stackrel{\textstyle\frown}{AD}$ окружности, заключенная внутри этого угла, равна $70^\circ$.

Пусть O — центр окружности. По условию, сторона CA касается окружности в точке A. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, радиус OA перпендикулярен касательной CA, а это означает, что треугольник $\triangle OAC$ — прямоугольный, и его угол $\angle OAC = 90°$.

Сторона CD проходит через центр окружности O, а дуга AD, заключенная внутри угла, равна $70°$. Центральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере этой дуги. Угол $\angle AOD$ является центральным углом, который опирается на дугу AD. Таким образом, $\angle AOD = 70°$.

Поскольку точки C, O и D лежат на одной прямой (так как сторона CD проходит через центр O), лучи OC и OD совпадают. Следовательно, угол $\angle AOC$ равен углу $\angle AOD$, то есть $\angle AOC = 70°$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OAC$. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Мы можем записать:

$\angle ACO + \angle AOC + \angle OAC = 180°$

Подставим известные значения углов:

$\angle ACO + 70° + 90° = 180°$

$\angle ACO + 160° = 180°$

$\angle ACO = 180° - 160°$

$\angle ACO = 20°$

Так как искомый угол $\angle ACD$ и угол $\angle ACO$ — это один и тот же угол, то $\angle ACD = 20°$.

Ответ: 20°.