Номер 40, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

40. Две окружности радиусами 2 см и 5 см касаются внешним образом в точке $A$. Прямая, проходящая через точку $A$, пересекает окружности соответственно в точках $B$ и $C$, $AC = 5 \text{ см}$. Найдите $AB$.

Пусть даны две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ и радиусами $r_1 = 2$ см и $r_2 = 5$ см соответственно. Окружности касаются внешним образом в точке А. Это означает, что точка касания А лежит на линии центров $O_1O_2$, причём А находится между $O_1$ и $O_2$. Расстояния от центров до точки касания равны радиусам: $O_1A = r_1 = 2$ см и $O_2A = r_2 = 5$ см.

Прямая, проходящая через точку А, пересекает первую окружность в точке В, а вторую — в точке С. Рассмотрим треугольники $\triangle O_1AB$ и $\triangle O_2AC$.

В треугольнике $\triangle O_1AB$ стороны $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами первой окружности, поэтому $O_1A = O_1B = r_1 = 2$ см. Следовательно, $\triangle O_1AB$ — равнобедренный, и его углы при основании AB равны: $\angle O_1BA = \angle O_1AB$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle O_2AC$ стороны $O_2A$ и $O_2C$ являются радиусами второй окружности, поэтому $O_2A = O_2C = r_2 = 5$ см. Следовательно, $\triangle O_2AC$ — также равнобедренный, и его углы при основании AC равны: $\angle O_2CA = \angle O_2AC$.

Поскольку точки B, A, C лежат на одной прямой и точки $O_1, A, O_2$ лежат на другой прямой, углы $\angle O_1AB$ и $\angle O_2AC$ являются вертикальными, а значит, они равны.

Из этого следует, что $\angle O_1BA = \angle O_1AB = \angle O_2AC = \angle O_2CA$. Так как у треугольников $\triangle O_1AB$ и $\triangle O_2AC$ есть по две пары равных углов, они подобны по первому признаку подобия.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно:$ \frac{AB}{AC} = \frac{O_1A}{O_2A} = \frac{r_1}{r_2} $

Подставим в это соотношение известные значения: $AC = 5$ см, $r_1 = 2$ см, $r_2 = 5$ см.$ \frac{AB}{5} = \frac{2}{5} $

Отсюда находим длину отрезка AB:$ AB = 5 \cdot \frac{2}{5} = 2 $ см.

Ответ: 2 см.