Номер 7, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как $3 : 4 : 5$. Найдите углы треугольника ABC.

Пусть точки А, В и С делят окружность на три дуги, которые мы обозначим как ◡AB, ◡BC и ◡CA. Согласно условию, градусные меры этих дуг соотносятся как $3:4:5$.

Сумма градусных мер всех дуг, составляющих полную окружность, равна $360^\circ$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры дуг будут равны:
◡AB = $3x$
◡BC = $4x$
◡CA = $5x$

Составим и решим уравнение, исходя из того, что сумма градусных мер дуг равна $360^\circ$:
$3x + 4x + 5x = 360^\circ$
$12x = 360^\circ$
$x = \frac{360^\circ}{12}$
$x = 30^\circ$

Теперь найдем градусную меру каждой дуги:
Градусная мера дуги ◡AB = $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.
Градусная мера дуги ◡BC = $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
Градусная мера дуги ◡CA = $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.
Проверка: $90^\circ + 120^\circ + 150^\circ = 360^\circ$.

Углы треугольника ABC являются вписанными в окружность. По теореме о вписанном угле, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Находим $\angle A$ (или $\angle BAC$):
Этот угол опирается на дугу ◡BC.
$\angle A = \frac{1}{2} \cdot \text{◡BC} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

Находим $\angle B$ (или $\angle ABC$):
Этот угол опирается на дугу ◡CA.
$\angle B = \frac{1}{2} \cdot \text{◡CA} = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ$.

Находим $\angle C$ (или $\angle BCA$):
Этот угол опирается на дугу ◡AB.
$\angle C = \frac{1}{2} \cdot \text{◡AB} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Таким образом, мы нашли все углы треугольника ABC. Проверим, что их сумма равна $180^\circ$:
$60^\circ + 75^\circ + 45^\circ = 180^\circ$.
Расчеты верны.

Ответ: углы треугольника АВС равны $45^\circ$, $60^\circ$ и $75^\circ$.