Номер 8, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна 6. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности, если противолежащий этой стороне угол $C$ равен: а) $30^\circ$; б) $45^\circ$; в) $60^\circ$; г) $90^\circ$; д) $150^\circ$.

Для решения данной задачи используется следствие из теоремы синусов для треугольника. Согласно этому следствию, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной около этого треугольника окружности. Формула выглядит так:

$ \frac{c}{\sin C} = 2R $

где $ c $ — длина стороны (в нашем случае $ AB $), $ C $ — величина угла, противолежащего этой стороне, а $ R $ — радиус описанной окружности.

Из условия мы знаем, что сторона $ AB = 6 $. Выразим радиус $ R $ из формулы:

$ R = \frac{AB}{2 \sin C} = \frac{6}{2 \sin C} = \frac{3}{\sin C} $

Теперь мы можем вычислить радиус для каждого из предложенных значений угла $ C $.

а) Угол $ C = 30^\circ $.
Значение синуса: $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Вычисляем радиус: $ R = \frac{3}{\sin 30^\circ} = \frac{3}{1/2} = 3 \cdot 2 = 6 $.
Ответ: 6.

б) Угол $ C = 45^\circ $.
Значение синуса: $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Вычисляем радиус: $ R = \frac{3}{\sin 45^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} $.
Ответ: $ 3\sqrt{2} $.

в) Угол $ C = 60^\circ $.
Значение синуса: $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Вычисляем радиус: $ R = \frac{3}{\sin 60^\circ} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} $.
Ответ: $ 2\sqrt{3} $.

г) Угол $ C = 90^\circ $.
Значение синуса: $ \sin 90^\circ = 1 $.
Вычисляем радиус: $ R = \frac{3}{\sin 90^\circ} = \frac{3}{1} = 3 $.
Примечание: Если угол $ C = 90^\circ $, то треугольник $ ABC $ — прямоугольный, а сторона $ AB $ — его гипотенуза. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы. Таким образом, $ R = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 $.
Ответ: 3.

д) Угол $ C = 150^\circ $.
Значение синуса (используя формулу приведения): $ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $.
Вычисляем радиус: $ R = \frac{3}{\sin 150^\circ} = \frac{3}{1/2} = 3 \cdot 2 = 6 $.
Ответ: 6.