Номер 10, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В треугольнике ABC $\angle A = 40^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$. Какая из сторон треугольника расположена ближе к центру описанной окружности?

Для того чтобы определить, какая из сторон треугольника расположена ближе к центру описанной окружности, необходимо сравнить расстояния от центра окружности до каждой из сторон.

Сначала найдем величину третьего угла треугольника $ABC$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$.

Таким образом, углы треугольника равны $40^\circ, 60^\circ$ и $80^\circ$. Все углы острые, значит центр описанной окружности находится внутри треугольника. Для решения задачи можно использовать два подхода.

Способ 1: Через сравнение длин сторон.
Стороны треугольника являются хордами его описанной окружности. В одной и той же окружности, чем длиннее хорда, тем меньше расстояние от нее до центра. В свою очередь, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Сравним углы треугольника $ABC$:
$\angle A = 40^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 80^\circ$.
Так как $\angle A < \angle B < \angle C$, то и для длин противолежащих им сторон $BC, AC, AB$ выполняется соотношение $BC < AC < AB$.
Самая длинная сторона — $AB$. Следовательно, как самая длинная хорда, она расположена ближе всего к центру описанной окружности.

Способ 2: Через формулу расстояния.
Пусть $R$ — радиус описанной окружности. Расстояние $d$ от центра до стороны, которой противолежит угол $\alpha$, вычисляется по формуле $d = R \cos(\alpha)$ (поскольку все углы острые, модуль не требуется). Чтобы найти ближайшую к центру сторону, нужно найти наименьшее расстояние.
- Расстояние до стороны $BC$ (противолежащей $\angle A$): $d_{BC} = R \cos(40^\circ)$.
- Расстояние до стороны $AC$ (противолежащей $\angle B$): $d_{AC} = R \cos(60^\circ)$.
- Расстояние до стороны $AB$ (противолежащей $\angle C$): $d_{AB} = R \cos(80^\circ)$.
Функция косинуса является убывающей на интервале $[0^\circ, 90^\circ]$. Так как $40^\circ < 60^\circ < 80^\circ$, то для их косинусов выполняется обратное неравенство: $\cos(40^\circ) > \cos(60^\circ) > \cos(80^\circ)$.
Следовательно, для расстояний имеем: $d_{BC} > d_{AC} > d_{AB}$.
Наименьшее расстояние $d_{AB}$ соответствует стороне $AB$, что подтверждает вывод, полученный первым способом.

Ответ: сторона AB расположена ближе к центру описанной окружности.