Номер 4, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

4. Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, если его основание стягивает дугу в $60^\circ$.

Пусть в окружность вписан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, основание $AC$ стягивает дугу, градусная мера которой равна $60^\circ$. Вершина $B$, противолежащая основанию, может находиться либо на большей, либо на меньшей дуге, стягиваемой хордой $AC$. Это приводит к двум возможным решениям.

Случай 1: Вершина $B$ находится на большей дуге $AC$.
В этом случае угол $\angle B$ является вписанным углом, который опирается на меньшую дугу $AC$, равную $60^\circ$. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.
$ \angle B = \frac{1}{2} \cdot \text{◡}AC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ $
Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, углы при основании равны:
$ \angle A = \angle C $
Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Таким образом, для треугольника $ABC$ имеем:
$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $
Подставим известные значения:
$ \angle A + 30^\circ + \angle C = 180^\circ $
Так как $ \angle A = \angle C $, то $ 2 \angle A + 30^\circ = 180^\circ $.
$ 2 \angle A = 180^\circ - 30^\circ $
$ 2 \angle A = 150^\circ $
$ \angle A = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ $
Следовательно, $ \angle A = \angle C = 75^\circ $.
Углы треугольника в этом случае: $75^\circ, 30^\circ, 75^\circ$.

Случай 2: Вершина $B$ находится на меньшей дуге $AC$.
В этом случае вписанный угол $\angle B$ опирается на большую дугу $AC$. Вся окружность составляет $360^\circ$, поэтому градусная мера большей дуги $AC$ равна:
$ 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ $
Тогда величина угла $\angle B$ равна:
$ \angle B = \frac{1}{2} \cdot 300^\circ = 150^\circ $
Треугольник по-прежнему равнобедренный с основанием $AC$, поэтому углы при основании равны: $ \angle A = \angle C $.
Используя сумму углов треугольника:
$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $
$ \angle A + 150^\circ + \angle C = 180^\circ $
$ 2 \angle A = 180^\circ - 150^\circ $
$ 2 \angle A = 30^\circ $
$ \angle A = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ $
Следовательно, $ \angle A = \angle C = 15^\circ $.
Углы треугольника в этом случае: $15^\circ, 150^\circ, 15^\circ$.

Ответ: Углы треугольника могут быть $75^\circ, 75^\circ, 30^\circ$ или $15^\circ, 15^\circ, 150^\circ$.