Номер 7, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Углы треугольника относятся как $1 : 2 : 3$. Найдите отношение сторон.

Нахождение углов треугольника
Пусть углы треугольника, обозначенные как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, относятся как $1:2:3$. Это можно записать в виде $\alpha = k$, $\beta = 2k$ и $\gamma = 3k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.
Сумма углов в треугольнике всегда составляет $180^\circ$. Используя это свойство, составим уравнение:
$k + 2k + 3k = 180^\circ$
$6k = 180^\circ$
$k = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$
Теперь мы можем найти точные значения каждого угла:
$\alpha = 30^\circ$
$\beta = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
$\gamma = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$
Таким образом, мы имеем дело с прямоугольным треугольником.

Нахождение отношения сторон
Согласно теореме синусов, отношение длин сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих им углов. Пусть $a$, $b$ и $c$ — стороны, противолежащие углам $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Тогда:
$a : b : c = \sin \alpha : \sin \beta : \sin \gamma$
Подставим значения углов:
$a : b : c = \sin 30^\circ : \sin 60^\circ : \sin 90^\circ$
Вычислим значения синусов для этих углов:
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 90^\circ = 1$
Подставим эти значения в отношение:
$a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$
Чтобы упростить отношение и избавиться от дробей, умножим все его члены на 2:
$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$

Ответ: $1 : \sqrt{3} : 2$.