Номер 2, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

2. Существуют ли точки, которые при параллельном переносе переходят сами в себя?

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение задается вектором, который называется вектором переноса. Пусть вектор переноса $\vec{v}$ имеет координаты $(a, b)$.

Пусть у нас есть некоторая точка $M$ с координатами $(x, y)$. При параллельном переносе на вектор $\vec{v}=(a, b)$ она перейдет в точку $M'$ с координатами $(x', y')$, которые вычисляются по формулам:

$x' = x + a$

$y' = y + b$

Вопрос состоит в том, существуют ли такие точки $M$, которые переходят сами в себя. Это означает, что образ точки $M'$ совпадает с самой точкой $M$. В координатной форме это записывается как:

$x' = x$ и $y' = y$

Подставим в эти равенства формулы параллельного переноса:

$x = x + a$

$y = y + b$

Из первого уравнения следует, что $a = 0$. Из второго уравнения следует, что $b = 0$.

Это означает, что точка может перейти сама в себя только в том случае, если обе компоненты вектора переноса равны нулю, то есть вектор переноса является нулевым вектором: $\vec{v} = (0, 0)$.

Параллельный перенос на нулевой вектор является тождественным преобразованием, то есть он оставляет все точки на своих местах. В этом случае абсолютно любая точка плоскости переходит сама в себя.

Если же вектор переноса ненулевой (то есть хотя бы одна из его координат, $a$ или $b$, не равна нулю), то уравнениz $x = x + a$ и $y = y + b$ не могут выполняться. Следовательно, при параллельном переносе на ненулевой вектор не существует ни одной точки, которая переходит сама в себя. Такие точки называются неподвижными точками преобразования.

Таким образом, ответ на вопрос зависит от того, какой параллельный перенос рассматривается.

Ответ: Да, такие точки существуют, но только в одном частном случае: когда параллельный перенос осуществляется на нулевой вектор. В этом случае каждая точка плоскости переходит сама в себя. Если же вектор переноса не является нулевым, то таких точек не существует.