Номер 26, страница 160 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Сторона правильного шестиугольника равна 3. Найдите радиус описанной около него окружности.

Пусть $a$ — сторона правильного шестиугольника, а $R$ — радиус описанной около него окружности. По условию задачи дано, что $a = 3$.

Если соединить все вершины правильного шестиугольника с центром описанной окружности, то шестиугольник будет разделен на шесть равных треугольников. Рассмотрим один из таких треугольников.

Две стороны этого треугольника являются радиусами описанной окружности ($R$), а третья сторона — это сторона самого шестиугольника ($a$). Таким образом, этот треугольник является равнобедренным.

Угол, образованный двумя радиусами в центре окружности, является центральным углом для стороны шестиугольника. Так как в шестиугольнике 6 равных сторон, то этот угол равен $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

Теперь мы знаем, что наш треугольник — равнобедренный, и угол при его вершине равен $60^\circ$. Углы при основании этого треугольника равны между собой и их сумма составляет $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Следовательно, каждый из углов при основании равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Поскольку все три угла треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны. Отсюда следует, что радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:

$R = a$

Так как по условию сторона шестиугольника $a = 3$, то и радиус описанной окружности $R$ также равен 3.

Ответ: 3