Номер 34, страница 161 - гдз по геометрии 9 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Найдите длину окружности, описанной около:

а) правильного треугольника;

б) квадрата;

в) правильного шестиугольника со стороной 2.

Для нахождения длины окружности $L$ используется формула $L = 2\pi R$, где $R$ – радиус описанной окружности. Во всех случаях, указанных в задаче, сторона правильного многоугольника $a = 2$.

а) Найдем длину окружности, описанной около правильного треугольника.
Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставим значение стороны $a=2$:
$R = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Теперь найдем длину окружности:
$L = 2\pi R = 2\pi \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi}{\sqrt{3}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$L = \frac{4\pi\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{4\pi\sqrt{3}}{3}$.

б) Найдем длину окружности, описанной около квадрата.
Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата со стороной $a$, равен половине его диагонали $d$. Диагональ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.
Следовательно, $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Подставим значение стороны $a=2$:
$R = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.
Теперь найдем длину окружности:
$L = 2\pi R = 2\pi\sqrt{2}$.
Ответ: $2\pi\sqrt{2}$.

в) Найдем длину окружности, описанной около правильного шестиугольника.
Радиус $R$ окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне $a$.
$R = a$.
Подставим значение стороны $a=2$:
$R = 2$.
Теперь найдем длину окружности:
$L = 2\pi R = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.
Ответ: $4\pi$.