Номер 14, страница 78 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 2. Динамика. Параграф 9. Сила, ускорение, масса. Второй закон Ньютона - номер 14, страница 78.

Условие.

14. На тело действуют две силы, равные по модулю. Как должны быть направлены эти силы, чтобы их равнодействующая была:

a) наибольшей;

б) равной по модулю одной из этих сил;

в) равной нулю?

Решение.

Дано:

Две силы $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$

$|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = F$

Найти:

Угол $\alpha$ между векторами $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ для каждого случая.

Решение:

Равнодействующая двух сил $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$. Модуль равнодействующей силы находится по теореме косинусов:

$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos\alpha}$

где $\alpha$ — угол между векторами сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$.

Поскольку по условию модули сил равны ($F_1 = F_2 = F$), формула принимает вид:

$R = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F \cdot F \cos\alpha} = \sqrt{2F^2 + 2F^2 \cos\alpha} = \sqrt{2F^2(1 + \cos\alpha)}$

Используя тригонометрическую формулу $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$R = \sqrt{2F^2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = \sqrt{4F^2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = 2F \cos(\frac{\alpha}{2})$

(Знак модуля для косинуса можно опустить, так как угол $\alpha$ между векторами находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$, а значит $\frac{\alpha}{2}$ — от $0^\circ$ до $90^\circ$, где косинус неотрицателен).

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) наибольшей

Модуль равнодействующей силы $\text{R}$ будет наибольшим, когда множитель $\cos(\frac{\alpha}{2})$ будет иметь максимальное значение. Максимальное значение косинуса равно 1.
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = 1$
Это выполняется при $\frac{\alpha}{2} = 0^\circ$, следовательно, $\alpha = 0^\circ$.
Это означает, что векторы сил сонаправлены, то есть лежат на одной прямой и направлены в одну сторону. В этом случае $R = 2F \cos(0^\circ) = 2F$.
Ответ: Силы должны быть направлены в одну сторону вдоль одной прямой (угол между ними $0^\circ$).

б) равной по модулю одной из этих сил

По условию, модуль равнодействующей должен быть равен $\text{F}$, то есть $R=F$.
$F = 2F \cos(\frac{\alpha}{2})$
Разделив обе части на $\text{F}$ (так как $F \ne 0$), получаем:
$1 = 2 \cos(\frac{\alpha}{2})$
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2}$
Это соответствует углу $\frac{\alpha}{2} = 60^\circ$.
Следовательно, искомый угол $\alpha = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Ответ: Силы должны быть направлены под углом $120^\circ$ друг к другу.

в) равной нулю

По условию, модуль равнодействующей должен быть равен нулю, то есть $R=0$.
$0 = 2F \cos(\frac{\alpha}{2})$
Так как $F \ne 0$, то должно выполняться равенство:
$\cos(\frac{\alpha}{2}) = 0$
Это соответствует углу $\frac{\alpha}{2} = 90^\circ$.
Следовательно, искомый угол $\alpha = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$.
Это означает, что векторы сил направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой.
Ответ: Силы должны быть направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой (угол между ними $180^\circ$).