Номер 14, страница 132 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 3. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 14, страница 132.

Условие.

14. Тело массой $\text{m}$ равномерно движется со скоростью $\text{v}$ по окружности радиуса $\text{r}$. Чему равен модуль изменения импульса тела:

а) за один период;

б) за половину периода;

в) за четверть периода?

Решение.

Дано:

Масса тела: $\text{m}$
Скорость тела: $\text{v}$
Радиус окружности: $\text{r}$
Движение: равномерное по окружности

Найти:

$|\Delta\vec{p}|$ - модуль изменения импульса тела:
а) за один период ($\text{T}$);
б) за половину периода ($T/2$);
в) за четверть периода ($T/4$).

Решение:

Импульс тела является векторной величиной, определяемой формулой $\vec{p} = m\vec{v}$. Изменение импульса тела $\Delta\vec{p}$ за некоторый промежуток времени равно векторной разности конечного $\vec{p_2}$ и начального $\vec{p_1}$ импульсов: $\Delta\vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}$.

При равномерном движении по окружности модуль скорости $\text{v}$ тела постоянен, а значит, и модуль импульса $|\vec{p}| = mv$ также постоянен. Однако направление вектора скорости, а следовательно и вектора импульса, непрерывно изменяется.

а) за один период

За время, равное одному периоду обращения $\text{T}$, тело совершает полный оборот и возвращается в начальную точку траектории. При этом его вектор скорости $\vec{v_2}$ становится равным начальному вектору скорости $\vec{v_1}$ (совпадают и модуль, и направление). Следовательно, конечный импульс $\vec{p_2}$ равен начальному импульсу $\vec{p_1}$.

$\vec{p_2} = m\vec{v_2} = m\vec{v_1} = \vec{p_1}$

Изменение импульса равно:

$\Delta\vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1} = \vec{p_1} - \vec{p_1} = 0$

Таким образом, модуль изменения импульса равен нулю.

Ответ: $\text{0}$

б) за половину периода

За время, равное половине периода $T/2$, тело переместится в диаметрально противоположную точку окружности. Вектор скорости в этой точке $\vec{v_2}$ будет иметь тот же модуль, что и начальный, но будет направлен в противоположную сторону: $\vec{v_2} = -\vec{v_1}$.

Тогда конечный импульс $\vec{p_2}$ связан с начальным $\vec{p_1}$ следующим образом:

$\vec{p_2} = m\vec{v_2} = m(-\vec{v_1}) = -m\vec{v_1} = -\vec{p_1}$

Изменение импульса равно:

$\Delta\vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1} = -\vec{p_1} - \vec{p_1} = -2\vec{p_1}$

Модуль изменения импульса будет равен:

$|\Delta\vec{p}| = |-2\vec{p_1}| = 2|\vec{p_1}| = 2mv$

Ответ: $2mv$

в) за четверть периода

За время, равное четверти периода $T/4$, тело пройдет дугу в $90^\circ$. Вектор скорости тела также повернется на $90^\circ$. Это означает, что векторы начальной $\vec{v_1}$ и конечной $\vec{v_2}$ скоростей будут перпендикулярны друг другу. Соответственно, перпендикулярны будут и векторы начального $\vec{p_1}$ и конечного $\vec{p_2}$ импульсов.

Модуль изменения импульса $|\Delta\vec{p}| = |\vec{p_2} - \vec{p_1}|$ можно найти по правилу вычитания векторов. Так как векторы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ перпендикулярны и равны по модулю ($|\vec{p_1}| = |\vec{p_2}| = mv$), модуль их разности можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются модули векторов $\vec{p_2}$ и $-\vec{p_1}$:

$|\Delta\vec{p}|^2 = |\vec{p_2}|^2 + |-\vec{p_1}|^2 = (mv)^2 + (mv)^2 = 2(mv)^2$

Отсюда находим модуль изменения импульса:

$|\Delta\vec{p}| = \sqrt{2(mv)^2} = mv\sqrt{2}$

Ответ: $mv\sqrt{2}$