Номер 10, страница 131 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Механика. Глава 3. Законы сохранения в механике. Параграф 16. Импульс. Закон сохранения импульса - номер 10, страница 131.

Условие.

10. Расскажите, с какими законами Ньютона связан закон сохранения импульса.

Решение.

Решение

Закон сохранения импульса является фундаментальным законом физики и напрямую выводится из законов движения Ньютона, в частности, из второго и третьего законов.

Связь со вторым законом Ньютона

Второй закон Ньютона в своей наиболее общей, импульсной, формулировке утверждает, что равнодействующая всех внешних сил, приложенных к системе тел, равна скорости изменения полного импульса этой системы:

$ \vec{F}_{внеш} = \frac{d\vec{p}_{сист}}{dt} $

Эту формулу можно также записать в виде для конечных промежутков времени:

$ \vec{F}_{внеш} = \frac{\Delta \vec{p}_{сист}}{\Delta t} $

Из этой формулировки непосредственно вытекает закон сохранения импульса. Если система тел является замкнутой (или изолированной), то есть сумма (равнодействующая) всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю ($ \vec{F}_{внеш} = 0 $), то и скорость изменения ее полного импульса также равна нулю:

$ \frac{d\vec{p}_{сист}}{dt} = 0 $

Это математически означает, что вектор полного импульса системы $ \vec{p}_{сист} $ не изменяется с течением времени, то есть является постоянной величиной (сохраняется):

$ \vec{p}_{сист} = \text{const} $

Таким образом, закон сохранения импульса — это прямое следствие второго закона Ньютона, примененного к замкнутой системе.

Связь с третьим законом Ньютона

Третий закон Ньютона играет ключевую роль при рассмотрении системы, состоящей из нескольких взаимодействующих тел. Он гласит, что силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению:

$ \vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21} $

где $ \vec{F}_{12} $ — сила, действующая на тело 2 со стороны тела 1, а $ \vec{F}_{21} $ — сила, действующая на тело 1 со стороны тела 2. Эти силы являются внутренними для системы из двух тел.

Рассмотрим замкнутую систему из двух взаимодействующих тел. Согласно второму закону Ньютона, изменение импульса первого тела равно $ \Delta \vec{p}_1 = \vec{F}_{21} \Delta t $, а изменение импульса второго тела — $ \Delta \vec{p}_2 = \vec{F}_{12} \Delta t $. Суммарное изменение импульса всей системы равно сумме изменений импульсов каждого тела:

$ \Delta \vec{p}_{сист} = \Delta \vec{p}_1 + \Delta \vec{p}_2 = \vec{F}_{21} \Delta t + \vec{F}_{12} \Delta t = (\vec{F}_{21} + \vec{F}_{12}) \Delta t $

Поскольку, согласно третьему закону Ньютона, сумма внутренних сил $ \vec{F}_{21} + \vec{F}_{12} = 0 $, то и полное изменение импульса системы равно нулю:

$ \Delta \vec{p}_{сист} = 0 $

Это означает, что полный импульс системы $ \vec{p}_{сист} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 $ сохраняется. Таким образом, третий закон Ньютона доказывает, что внутренние силы в системе не могут изменить ее суммарный импульс.

Связь с первым законом Ньютона

Первый закон Ньютона (закон инерции) можно считать частным случаем второго закона при $ \vec{F} = 0 $. Он утверждает, что при отсутствии внешних воздействий тело сохраняет свою скорость постоянной ($ \vec{v} = \text{const} $). Поскольку импульс тела определяется как $ \vec{p} = m\vec{v} $, то постоянство скорости при неизменной массе означает и постоянство импульса ($ \vec{p} = \text{const} $). Таким образом, первый закон Ньютона является формулировкой закона сохранения импульса для одного изолированного тела.

Ответ: Закон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона. Второй закон Ньютона в импульсной форме ($ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $) показывает, что если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то ее полный импульс сохраняется. Третий закон Ньютона ($ \vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21} $) объясняет, почему внутренние силы в системе не могут изменить ее полный импульс, так как они попарно компенсируют друг друга. Первый закон Ньютона, по сути, является выражением закона сохранения импульса для одного тела.