Номер 7, страница 227 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Молекулярная физика и термодинамика. Глава 5. Молекулярная физика. Параграф 28. Температура и средняя кинетическая энергия молекул - номер 7, страница 227.

Условие.

7. Что такое среднее значение квадрата скорости молекул?

Решение.

Среднее значение квадрата скорости молекул — это физическая величина, представляющая собой среднее арифметическое значение квадратов скоростей всех молекул газа в рассматриваемом объеме. Эта величина является мерой интенсивности теплового (хаотического) движения молекул.

Молекулы в газе движутся с различными скоростями и в разных направлениях. Из-за полной хаотичности этого движения среднее значение вектора скорости равно нулю: $\langle \vec{v} \rangle = 0$. Поэтому для характеристики движения используют скалярные величины, которые не зависят от направления. Одной из таких величин является средний квадрат скорости.

Если система содержит $\text{N}$ молекул, скорости которых в данный момент времени равны $v_1, v_2, v_3, ..., v_N$, то среднее значение квадрата скорости $\langle v^2 \rangle$ вычисляется по формуле:

$\langle v^2 \rangle = \frac{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_N^2}{N} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}v_i^2$

Физический смысл среднего квадрата скорости заключается в его прямой связи со средней кинетической энергией поступательного движения молекул и, как следствие, с температурой газа. Средняя кинетическая энергия одной молекулы $\langle E_k \rangle$ определяется как:

$\langle E_k \rangle = \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2}$

где $m_0$ — масса одной молекулы.

С другой стороны, из молекулярно-кинетической теории известно, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре $\text{T}$:

$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$

где $\text{k}$ — постоянная Больцмана ($k \approx 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К).

Приравнивая эти два выражения для энергии, можно установить прямую связь между средним квадратом скорости и температурой:

$\frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2} = \frac{3}{2}kT$

$\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m_0}$

Таким образом, среднее значение квадрата скорости напрямую характеризует температуру вещества: чем выше температура, тем больше средний квадрат скорости, что отражает более интенсивное тепловое движение молекул.

Следует отличать среднее значение квадрата скорости $\langle v^2 \rangle$ от среднеквадратичной скорости $v_{кв}$, которая является корнем из этой величины: $v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle}$.

Ответ: Среднее значение квадрата скорости молекул – это среднее арифметическое квадратов скоростей всех молекул в системе. Эта величина является мерой интенсивности теплового движения молекул и прямо пропорциональна абсолютной температуре вещества.