Номер 11, страница 227 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Молекулярная физика и термодинамика. Глава 5. Молекулярная физика. Параграф 28. Температура и средняя кинетическая энергия молекул - номер 11, страница 227.

Условие.

11. Запишите формулу, которая выражает среднюю квадратичную скорость молекул через абсолютную температуру газа и его молярную массу.

Решение.

Решение

Средняя квадратичная скорость молекул газа является характеристикой теплового движения молекул и напрямую связана со средней кинетической энергией их поступательного движения. Средняя кинетическая энергия одной молекулы идеального газа определяется абсолютной температурой газа по формуле:

$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$

где $\langle E_k \rangle$ — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, $\text{k}$ — постоянная Больцмана, а $\text{T}$ — абсолютная температура в Кельвинах.

С другой стороны, средняя кинетическая энергия по определению связана со средним квадратом скорости $\langle v^2 \rangle$ и массой одной молекулы $m_0$:

$\langle E_k \rangle = \frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2}$

Приравнивая правые части этих двух выражений, получаем связь между температурой и скоростью движения молекул:

$\frac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2} = \frac{3}{2}kT$

Отсюда можно выразить средний квадрат скорости:

$\langle v^2 \rangle = \frac{3kT}{m_0}$

Средняя квадратичная скорость $v_{скв}$ (корень из среднего квадрата скорости) равна:

$v_{скв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$

Для того чтобы выразить эту формулу через молярную массу газа $\text{M}$, а не через массу одной молекулы $m_0$, воспользуемся следующими соотношениями:

1. Молярная масса $\text{M}$ связана с массой одной молекулы $m_0$ через число Авогадро $N_A$ ($N_A \approx 6.022 \times 10^{23}$ моль⁻¹): $M = m_0 N_A$. Отсюда $m_0 = \frac{M}{N_A}$.

2. Универсальная газовая постоянная $\text{R}$ ($R \approx 8.31$ Дж/(моль·К)) связана с постоянной Больцмана $\text{k}$ через число Авогадро $N_A$: $R = k N_A$.

Подставим выражение для $m_0$ в формулу для скорости:

$v_{скв} = \sqrt{\frac{3kT}{M/N_A}} = \sqrt{\frac{3k N_A T}{M}}$

Теперь заменим произведение $k N_A$ на универсальную газовую постоянную $\text{R}$. В результате получаем искомую формулу, связывающую среднюю квадратичную скорость молекул с абсолютной температурой и молярной массой газа:

$v_{скв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

В этой формуле:

• $v_{скв}$ — средняя квадратичная скорость молекул (в системе СИ измеряется в м/с),
• $\text{R}$ — универсальная газовая постоянная (Дж/(моль·К)),
• $\text{T}$ — абсолютная температура газа (К),
• $\text{M}$ — молярная масса газа (в системе СИ измеряется в кг/моль).

Ответ:

Формула, выражающая среднюю квадратичную скорость молекул ($v_{скв}$) через абсолютную температуру газа ($\text{T}$) и его молярную массу ($\text{M}$), имеет вид:

$v_{скв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$