Номер 6, страница 340 - гдз по физике 10 класс учебник часть 1 Генденштейн, Дик

Электростатика. Глава 8. Свойства электрического поля. Параграф 41. Электроёмкость. Энергия электрического поля - номер 6, страница 340.

Условие.

6. Объясните, почему потенциал уединённого заряженного проводника прямо пропорционален его заряду.

Решение.

Решение

Пропорциональность между потенциалом $\text{φ}$ и зарядом $\text{q}$ уединенного проводника является прямым следствием принципа суперпозиции для электростатических полей и определения потенциала.

1. Связь поля и заряда. Согласно закону Кулона и принципу суперпозиции, напряженность электрического поля $\vec{E}$, создаваемого любой системой зарядов, в каждой точке пространства прямо пропорциональна величине этих зарядов. Если мы увеличим заряд проводника в $\text{n}$ раз (т.е. заряд каждого малого элемента его поверхности увеличится в $\text{n}$ раз), то и создаваемая им напряженность поля в любой точке пространства также увеличится в $\text{n}$ раз.

2. Связь потенциала и поля. Потенциал $\text{φ}$ в некоторой точке определяется как работа, совершаемая электрическим полем при перемещении единичного положительного заряда из этой точки в бесконечность. Эта работа вычисляется через интеграл от напряженности поля по пути перемещения: $φ = \int_{P}^{\infty} \vec{E} \cdot d\vec{l}$. Для проводника его потенциал одинаков во всех точках на поверхности и внутри.

3. Вывод о пропорциональности. Поскольку напряженность поля $\vec{E}$ прямо пропорциональна заряду проводника $\text{q}$, то есть $\vec{E} \sim q$, то и потенциал $\text{φ}$, который является интегралом от напряженности, также будет прямо пропорционален этому заряду: $φ \sim q$.

Эту прямую пропорциональность записывают в виде формулы, вводя коэффициент пропорциональности — электроёмкость $\text{C}$:

$q = C \cdot φ$

Отсюда следует, что потенциал можно выразить как:

$φ = \frac{1}{C} \cdot q$

Для уединенного проводника его электроёмкость $\text{C}$ является постоянной величиной, которая зависит только от его геометрической формы, размеров и диэлектрической проницаемости окружающей среды, но не от его заряда или потенциала. Так как $1/C$ — константа для данного проводника, эта формула и выражает прямую пропорциональную зависимость потенциала $\text{φ}$ от заряда $\text{q}$.

Например, для уединенной проводящей сферы радиусом $\text{R}$ с зарядом $\text{q}$ потенциал ее поверхности равен $φ = k \frac{q}{R}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — постоянная. Видно, что при неизменном радиусе $\text{R}$ потенциал $\text{φ}$ прямо пропорционален заряду $\text{q}$.

Ответ: Потенциал уединенного заряженного проводника прямо пропорционален его заряду, так как напряженность создаваемого им электрического поля в любой точке пространства прямо пропорциональна его заряду. Поскольку потенциал определяется через интеграл от напряженности поля, он также оказывается прямо пропорциональным заряду. Коэффициент этой пропорциональности зависит от электроёмкости проводника, которая является постоянной для данного проводника в данной среде.