Номер 9, страница 100, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 36. Напряжённость электрического поля. Линии напряжённости - номер 9, страница 100.

Условие.

9. На рисунке 36.2 изображены положительные точечные заряды и точка $\text{A}$, которая находится на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему заряды.

а) Перенесите чертёж в тетрадь и изобразите на нём направление напряжённости поля в точке $\text{A}$.

б) Выразите модуль напряжённости поля, создаваемого одним из зарядов $\text{q}$ в точке $\text{A}$, через $\text{q}$, $\text{l}$ и $\text{h}$.

в) Выразите модуль напряжённости поля, создаваемого обоими зарядами в точке $\text{A}$, через $\text{q}$, $\text{l}$ и $\text{h}$.

Рис. 36.2

Решение 2.

Дано:
Два положительных точечных заряда: $q_1 = q_2 = q$
Расстояние между зарядами: $2l$
Расстояние от точки A до середины отрезка, соединяющего заряды: $\text{h}$

Найти:
а) Направление напряжённости поля в точке А.
б) Модуль напряжённости поля $E_1$, создаваемого одним из зарядов $\text{q}$ в точке А.
в) Модуль напряжённости поля $\text{E}$, создаваемого обоими зарядами в точке А.

Решение:

а) Каждый из положительных зарядов $\text{q}$ создает в точке А электрическое поле, вектор напряжённости которого направлен от заряда. Обозначим напряжённость поля от левого заряда как $\vec{E_1}$, а от правого — как $\vec{E_2}$. Вектор $\vec{E_1}$ направлен по прямой, соединяющей левый заряд и точку А, от заряда. Вектор $\vec{E_2}$ направлен по прямой, соединяющей правый заряд и точку А, также от заряда.
Согласно принципу суперпозиции полей, результирующая напряжённость $\vec{E}$ в точке А является векторной суммой напряжённостей $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.
Поскольку заряды равны ($q_1 = q_2 = q$) и расстояния от зарядов до точки А одинаковы, модули напряжённостей также равны: $|\vec{E_1}| = |\vec{E_2}|$.
Из соображений симметрии, горизонтальные проекции векторов $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$ на прямую, параллельную отрезку, соединяющему заряды, равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому они взаимно компенсируют друг друга. Вертикальные же проекции обоих векторов направлены в одну сторону — вверх, вдоль серединного перпендикуляра от зарядов.
Следовательно, результирующий вектор напряжённости $\vec{E}$ в точке А направлен вертикально вверх, по серединному перпендикуляру к отрезку, соединяющему заряды.
Ответ: Результирующий вектор напряжённости поля в точке А направлен по серединному перпендикуляру от отрезка, соединяющего заряды.

б) Модуль напряжённости электрического поля, создаваемого точечным зарядом $\text{q}$, на расстоянии $\text{r}$ от него определяется формулой:
$E_1 = k \frac{|q|}{r^2}$, где $\text{k}$ — электростатическая постоянная.
Расстояние $\text{r}$ от любого из зарядов до точки А можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются $\text{h}$ и $\text{l}$ (половина расстояния между зарядами), а гипотенузой — $\text{r}$.
$r^2 = h^2 + l^2$
Подставим это выражение в формулу для напряжённости поля. Так как заряд $\text{q}$ положительный, $|q| = q$.
$E_1 = k \frac{q}{h^2 + l^2}$
Ответ: $E_1 = k \frac{q}{h^2 + l^2}$

в) Как было показано в пункте а), результирующая напряжённость $\text{E}$ равна сумме вертикальных проекций векторов $\vec{E_1}$ и $\vec{E_2}$.
$E = E_{1y} + E_{2y}$
Пусть $\alpha$ — угол между вектором $\vec{E_1}$ (или $\vec{E_2}$) и серединным перпендикуляром. Тогда вертикальная проекция одного вектора равна $E_{1y} = E_1 \cos\alpha$.
Из-за симметрии $E_{1y} = E_{2y}$, поэтому $E = 2 E_1 \cos\alpha$.
Из того же прямоугольного треугольника, что и в пункте б), найдём косинус угла $\alpha$:
$\cos\alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{r} = \frac{h}{\sqrt{h^2 + l^2}}$
Теперь подставим выражения для $E_1$ (из пункта б)) и $\cos\alpha$ в формулу для $\text{E}$:
$E = 2 \left( k \frac{q}{h^2 + l^2} \right) \left( \frac{h}{\sqrt{h^2 + l^2}} \right)$
Упростим выражение:
$E = \frac{2kqh}{(h^2 + l^2) \cdot (h^2 + l^2)^{1/2}} = \frac{2kqh}{(h^2 + l^2)^{3/2}}$
Ответ: $E = \frac{2kqh}{(h^2 + l^2)^{3/2}}$