Номер 1, страница 10 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 1. Положение тела в пространстве. Системы отсчёта. Способы описания механического движения. Глава 1. Кинематика. Механика - номер 1, страница 10.

Условие.

1. Координаты движущегося по плоскости $XY$ точечного тела изменяются по законам: 1) $x(t) = 2 + 4t$; $y(t) = 4 - 7t$; 2) $x(t) = 3 + 6t$; $y(t) = 5t$, где $x$ измеряют в метрах, а $t$ — в секундах. Выполните следующие задания:

а) определите для этих случаев начальные координаты тел, а также значения координат для моментов времени $t = 1$ с и $2$ с;

б) постройте графики движения $x(t)$

б) постройте графики движения $x(t)$ и $y(t)$;

в) получите уравнения траекторий $y(x)$ для каждого из тел;

г) постройте траектории для каждого из тел на плоскости $XY$.

Решение.

Дано:

Координаты тела изменяются по законам:

1) $x(t) = 2 + 4t$, $y(t) = 4 - 7t$

2) $x(t) = 3 + 6t$, $y(t) = 5t$

где $x$ и $y$ измеряются в метрах (м), а $t$ – в секундах (с). Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Для каждого случая:

а) начальные координаты ($x_0$, $y_0$), координаты в моменты времени $t = 1$ с и $t = 2$ с.

б) построить графики движения $x(t)$ и $y(t)$.

в) получить уравнение траектории $y(x)$.

г) построить траекторию движения на плоскости $XY$.

Решение:

Рассмотрим первый случай движения: $x(t) = 2 + 4t$, $y(t) = 4 - 7t$.

а) Определим координаты тела в разные моменты времени, подставляя значение $t$ в уравнения движения.

Начальные координаты (при $t = 0$ с):

$x_0 = x(0) = 2 + 4 \cdot 0 = 2$ м.

$y_0 = y(0) = 4 - 7 \cdot 0 = 4$ м.

Координаты в момент времени $t = 1$ с:

$x(1) = 2 + 4 \cdot 1 = 6$ м.

$y(1) = 4 - 7 \cdot 1 = -3$ м.

Координаты в момент времени $t = 2$ с:

$x(2) = 2 + 4 \cdot 2 = 10$ м.

$y(2) = 4 - 7 \cdot 2 = 4 - 14 = -10$ м.

Ответ: Начальные координаты $(2; 4)$ м; при $t=1$ с координаты $(6; -3)$ м; при $t=2$ с координаты $(10; -10)$ м.

б) Графики движения $x(t)$ и $y(t)$ являются линейными функциями вида $z = z_0 + v_z t$, следовательно, их графики – прямые линии. Для построения каждой прямой достаточно двух точек.

Для графика $x(t) = 2 + 4t$: возьмем точки $(t=0, x=2)$ и $(t=1, x=6)$.

Для графика $y(t) = 4 - 7t$: возьмем точки $(t=0, y=4)$ и $(t=1, y=-3)$.

Ответ: Графики движения $x(t)$ и $y(t)$ – прямые линии. График $x(t)$ проходит через точки $(0; 2)$ и $(1; 6)$. График $y(t)$ проходит через точки $(0; 4)$ и $(1; -3)$.

в) Чтобы получить уравнение траектории $y(x)$, необходимо исключить время $t$ из системы уравнений. Выразим $t$ из первого уравнения:

$x = 2 + 4t \implies 4t = x - 2 \implies t = \frac{x-2}{4}$

Подставим полученное выражение для $t$ во второе уравнение:

$y = 4 - 7t = 4 - 7 \left(\frac{x-2}{4}\right) = 4 - \frac{7}{4}x + \frac{14}{4} = 4 - 1.75x + 3.5 = 7.5 - 1.75x$

Ответ: Уравнение траектории: $y(x) = 7.5 - 1.75x$.

г) Траектория движения – это график функции $y(x) = 7.5 - 1.75x$, который является прямой линией на плоскости $XY$. Для ее построения используем найденные в пункте а) координаты:

Точка 1 (при $t=0$): $(2; 4)$.

Точка 2 (при $t=1$): $(6; -3)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: Траектория движения – прямая линия, проходящая через точки $(2; 4)$ и $(6; -3)$.

Рассмотрим второй случай движения: $x(t) = 3 + 6t$, $y(t) = 5t$.

а) Определим координаты тела в разные моменты времени.

Начальные координаты (при $t = 0$ с):

$x_0 = x(0) = 3 + 6 \cdot 0 = 3$ м.

$y_0 = y(0) = 5 \cdot 0 = 0$ м.

Координаты в момент времени $t = 1$ с:

$x(1) = 3 + 6 \cdot 1 = 9$ м.

$y(1) = 5 \cdot 1 = 5$ м.

Координаты в момент времени $t = 2$ с:

$x(2) = 3 + 6 \cdot 2 = 15$ м.

$y(2) = 5 \cdot 2 = 10$ м.

Ответ: Начальные координаты $(3; 0)$ м; при $t=1$ с координаты $(9; 5)$ м; при $t=2$ с координаты $(15; 10)$ м.

б) Графики движения $x(t)$ и $y(t)$ являются прямыми линиями.

Для графика $x(t) = 3 + 6t$: возьмем точки $(t=0, x=3)$ и $(t=1, x=9)$.

Для графика $y(t) = 5t$: возьмем точки $(t=0, y=0)$ и $(t=1, y=5)$.

Ответ: Графики движения $x(t)$ и $y(t)$ – прямые линии. График $x(t)$ проходит через точки $(0; 3)$ и $(1; 9)$. График $y(t)$ проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 5)$.

в) Получим уравнение траектории $y(x)$, исключив время $t$. Выразим $t$ из первого уравнения:

$x = 3 + 6t \implies 6t = x - 3 \implies t = \frac{x-3}{6}$

Подставим полученное выражение для $t$ во второе уравнение:

$y = 5t = 5 \left(\frac{x-3}{6}\right) = \frac{5}{6}x - \frac{15}{6} = \frac{5}{6}x - 2.5$

Ответ: Уравнение траектории: $y(x) = \frac{5}{6}x - 2.5$.

г) Траектория движения – это график функции $y(x) = \frac{5}{6}x - 2.5$, который является прямой линией на плоскости $XY$. Для ее построения используем найденные в пункте а) координаты:

Точка 1 (при $t=0$): $(3; 0)$.

Точка 2 (при $t=1$): $(9; 5)$.

Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: Траектория движения – прямая линия, проходящая через точки $(3; 0)$ и $(9; 5)$.