Номер 1, страница 15 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 2. Перемещение. Путь. Глава 1. Кинематика. Механика - номер 1, страница 15.

Условие.

1. Точечное тело движется вдоль оси X по закону: 1) $x(t) = 3 + 6t$; 2) $x(t) = 1 + 5t - t^2$, где $x$ измеряют в метрах, а $t$ — в секундах. Определите координаты тела в моменты времени $t = 0$ с, 1 с и 4 с.

Определите модули и направления перемещения тела:

а) за первую секунду движения;

б) за первые четыре секунды движения;

в) за промежуток времени с первой по четвёртую секунду движения. Изобразите эти векторы, соблюдая масштаб.

Решение.

1)

Для закона движения $x(t) = 3 + 6t$.

Дано:
Уравнение движения: $x(t) = 3 + 6t$ (x в метрах, t в секундах)
$t_0 = 0$ с
$t_1 = 1$ с
$t_2 = 4$ с

Найти:
$x(0)$, $x(1)$, $x(4)$ - ?
Модуль и направление перемещения: а) $\Delta \vec{r}_a$ (за 1-ю с), б) $\Delta \vec{r}_b$ (за 4 с), в) $\Delta \vec{r}_v$ (с 1-й по 4-ю с) - ?

Решение:

Сначала определим координаты тела в заданные моменты времени, подставляя значения $t$ в уравнение движения:

При $t=0$ с: $x(0) = 3 + 6 \cdot 0 = 3$ м.

При $t=1$ с: $x(1) = 3 + 6 \cdot 1 = 9$ м.

При $t=4$ с: $x(4) = 3 + 6 \cdot 4 = 27$ м.

Далее определим модули и направления перемещения тела. Перемещение $\Delta x$ равно разности конечной и начальной координат: $\Delta x = x_{конечн} - x_{начальн}$. Знак проекции перемещения на ось Х указывает на его направление.

а) за первую секунду движения (интервал времени от $t=0$ с до $t=1$ с):
$\Delta x_a = x(1) - x(0) = 9 \text{ м} - 3 \text{ м} = 6 \text{ м}$.
Модуль перемещения равен $|\Delta x_a| = 6$ м. Так как $\Delta x_a > 0$, вектор перемещения направлен в положительном направлении оси Х.
Ответ: Модуль перемещения 6 м, направление совпадает с положительным направлением оси X.

б) за первые четыре секунды движения (интервал времени от $t=0$ с до $t=4$ с):
$\Delta x_b = x(4) - x(0) = 27 \text{ м} - 3 \text{ м} = 24 \text{ м}$.
Модуль перемещения равен $|\Delta x_b| = 24$ м. Так как $\Delta x_b > 0$, вектор перемещения направлен в положительном направлении оси Х.
Ответ: Модуль перемещения 24 м, направление совпадает с положительным направлением оси X.

в) за промежуток времени с первой по четвёртую секунду движения (интервал времени от $t=1$ с до $t=4$ с):
$\Delta x_v = x(4) - x(1) = 27 \text{ м} - 9 \text{ м} = 18 \text{ м}$.
Модуль перемещения равен $|\Delta x_v| = 18$ м. Так как $\Delta x_v > 0$, вектор перемещения направлен в положительном направлении оси Х.
Ответ: Модуль перемещения 18 м, направление совпадает с положительным направлением оси X.

Изображение векторов: На координатной оси Х отмечаем точки с координатами 3, 9, 27. Вектор перемещения $\Delta \vec{x}_a$ изображается стрелкой, начинающейся в точке 3 и заканчивающейся в точке 9. Вектор $\Delta \vec{x}_b$ — стрелкой от точки 3 до точки 27. Вектор $\Delta \vec{x}_v$ — стрелкой от точки 9 до точки 27. Все векторы направлены вправо, вдоль оси Х.

2)

Для закона движения $x(t) = 1 + 5t - t^2$.

Дано:
Уравнение движения: $x(t) = 1 + 5t - t^2$ (x в метрах, t в секундах)
$t_0 = 0$ с
$t_1 = 1$ с
$t_2 = 4$ с

Найти:
$x(0)$, $x(1)$, $x(4)$ - ?
Модуль и направление перемещения: а) $\Delta \vec{r}_a$ (за 1-ю с), б) $\Delta \vec{r}_b$ (за 4 с), в) $\Delta \vec{r}_v$ (с 1-й по 4-ю с) - ?

Решение:

Определим координаты тела в заданные моменты времени:

При $t=0$ с: $x(0) = 1 + 5 \cdot 0 - 0^2 = 1$ м.

При $t=1$ с: $x(1) = 1 + 5 \cdot 1 - 1^2 = 1 + 5 - 1 = 5$ м.

При $t=4$ с: $x(4) = 1 + 5 \cdot 4 - 4^2 = 1 + 20 - 16 = 5$ м.

а) за первую секунду движения (интервал времени от $t=0$ с до $t=1$ с):
$\Delta x_a = x(1) - x(0) = 5 \text{ м} - 1 \text{ м} = 4 \text{ м}$.
Модуль перемещения равен $|\Delta x_a| = 4$ м. Так как $\Delta x_a > 0$, вектор перемещения направлен в положительном направлении оси Х.
Ответ: Модуль перемещения 4 м, направление совпадает с положительным направлением оси X.

б) за первые четыре секунды движения (интервал времени от $t=0$ с до $t=4$ с):
$\Delta x_b = x(4) - x(0) = 5 \text{ м} - 1 \text{ м} = 4 \text{ м}$.
Модуль перемещения равен $|\Delta x_b| = 4$ м. Так как $\Delta x_b > 0$, вектор перемещения направлен в положительном направлении оси Х.
Ответ: Модуль перемещения 4 м, направление совпадает с положительным направлением оси X.

в) за промежуток времени с первой по четвёртую секунду движения (интервал времени от $t=1$ с до $t=4$ с):
$\Delta x_v = x(4) - x(1) = 5 \text{ м} - 5 \text{ м} = 0 \text{ м}$.
Модуль перемещения равен $|\Delta x_v| = 0$ м. Вектор перемещения является нулевым, так как тело вернулось в исходную для этого промежутка точку.
Ответ: Модуль перемещения 0 м.

Изображение векторов: На координатной оси Х отмечаем точки с координатами 1 и 5. Вектор перемещения $\Delta \vec{x}_a$ изображается стрелкой от точки 1 до точки 5. Вектор $\Delta \vec{x}_b$ также изображается стрелкой от точки 1 до точки 5 (он полностью совпадает с вектором $\Delta \vec{x}_a$). Вектор $\Delta \vec{x}_v$ начинается и заканчивается в точке 5, его длина равна нулю, поэтому он изображается точкой.