Номер 5, страница 20 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Вопросы. Параграф 3. Скорость. Глава 1. Кинематика. Механика - номер 5, страница 20.

Условие.

5. Как по графику зависимости модуля скорости точечного тела от времени определить путь, пройденный телом?

Решение.

5. Как по графику зависимости модуля скорости точечного тела от времени определить путь, пройденный телом?

Для того чтобы по графику зависимости модуля скорости точечного тела от времени $v(t)$ определить путь $S$, пройденный телом за определенный промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, необходимо найти площадь фигуры, ограниченной этим графиком, осью времени (осью абсцисс) и вертикальными линиями, соответствующими моментам времени $t_1$ и $t_2$.

Это следует из определения пути. За очень малый промежуток времени $\Delta t$, в течение которого скорость можно считать постоянной и равной $v$, тело проходит путь $\Delta S \approx v \cdot \Delta t$. Этот путь численно равен площади узкого прямоугольника с высотой $v$ и основанием $\Delta t$. Полный путь за время от $t_1$ до $t_2$ является суммой таких элементарных путей, что в пределе при $\Delta t \to 0$ соответствует площади всей фигуры под графиком. Математически это выражается через определенный интеграл:

$S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$

Таким образом, метод определения пути сводится к вычислению площади соответствующей геометрической фигуры. Например, если движение равномерное ($v = \text{const}$), то фигура под графиком – прямоугольник, и путь равен его площади: $S = v \cdot (t_2 - t_1)$. Если движение равноускоренное ($v(t) = v_0 + at$), то фигура под графиком – трапеция (или треугольник, если начальная скорость равна нулю), и путь равен площади трапеции: $S = \frac{v(t_1) + v(t_2)}{2} \cdot (t_2 - t_1)$. Если график имеет более сложную форму, его можно разбить на простые фигуры (прямоугольники, треугольники, трапеции) и найти путь как сумму их площадей.

Ответ: Путь, пройденный телом, численно равен площади фигуры, ограниченной графиком зависимости модуля скорости тела от времени, осью времени и прямыми, соответствующими начальному и конечному моментам времени рассматриваемого промежутка.