Номер 1, страница 20 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 3. Скорость. Глава 1. Кинематика. Механика - номер 1, страница 20.

Условие.

1. Точечное тело всё время двигалось в одном направлении. Половину пути оно двигалось со скоростью, модуль которой равен 10 м/с, а вторую половину — со скоростью, модуль которой равен 20 м/с. Определите среднюю путевую скорость тела.

Решение.

1. Дано:

$v_1 = 10 \text{ м/с}$ (скорость на первой половине пути)

$v_2 = 20 \text{ м/с}$ (скорость на второй половине пути)

$s_1 = s_2$ (участки пути равны)

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$v_{ср}$ — среднюю путевую скорость.

Решение:

Средняя путевая скорость по определению равна отношению всего пройденного пути ко всему времени движения:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Пусть весь путь, пройденный телом, равен $S$. Так как тело прошло две равные половины пути, то $s_1 = s_2 = S/2$.

Время, затраченное на прохождение первой половины пути, равно:

$t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$

Время, затраченное на прохождение второй половины пути, равно:

$t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2v_2}$

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времен $t_1$ и $t_2$:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2v_2}$

Вынесем общий множитель $\frac{S}{2}$ за скобки:

$t_{общ} = \frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)$

Теперь подставим выражения для общего пути ($S_{общ} = S$) и общего времени в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S}{\frac{S}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)}$

Как видно из формулы, пройденный путь $S$ сокращается. Это означает, что средняя скорость не зависит от длины пути, а только от скоростей на его участках.

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2} \left( \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2} \right)} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $(v_1 v_2)$:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Полученная формула является средним гармоническим двух скоростей.

Подставим числовые значения из условия задачи:

$v_{ср} = \frac{2 \cdot 10 \text{ м/с} \cdot 20 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с} + 20 \text{ м/с}} = \frac{400 \text{ (м/с)}^2}{30 \text{ м/с}} = \frac{40}{3} \text{ м/с}$

Переведем в десятичную дробь:

$v_{ср} = \frac{40}{3} \text{ м/с} \approx 13,3 \text{ м/с}$

Ответ: средняя путевая скорость тела равна $\frac{40}{3} \text{ м/с}$, что приблизительно составляет $13,3 \text{ м/с}$.