Номер 2, страница 20 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 3. Скорость. Глава 1. Кинематика. Механика - номер 2, страница 20.

Условие.

2. Точечное тело движется вдоль оси $Y$ по закону $y(t) = 2 + 3t$. Определите мгновенную скорость тела (модуль и направление) в моменты времени $t=0$ и $t=2$ с. Определите средние скорости (модуль и направление) тела за первую и вторую секунды движения. Сравните полученные результаты.

Решение.

Дано:

Закон движения точечного тела вдоль оси Y: $y(t) = 2 + 3t$

Будем считать, что все величины представлены в системе СИ: координата $y$ в метрах (м), время $t$ в секундах (с).

Найти:

1. Мгновенную скорость $v$ в моменты времени $t=0$ с и $t=2$ с.

2. Среднюю скорость $$ за первую секунду движения (интервал от 0 с до 1 с).

3. Среднюю скорость $$ за вторую секунду движения (интервал от 1 с до 2 с).

4. Сравнить полученные результаты.

Решение:

Определите мгновенную скорость тела (модуль и направление) в моменты времени t=0 и t=2 с.

Мгновенная скорость $v(t)$ — это первая производная от координаты по времени $y'(t)$.

Для заданного закона движения $y(t) = 2 + 3t$ найдем производную:

$v(t) = y'(t) = \frac{d}{dt}(2 + 3t) = 0 + 3 = 3$ м/с.

Как видно из результата, скорость тела является постоянной величиной ($v = 3$ м/с) и не зависит от времени. Это означает, что движение является равномерным и прямолинейным.

Следовательно, мгновенная скорость в любой момент времени будет одинаковой:

При $t=0$ с, $v(0) = 3$ м/с.

При $t=2$ с, $v(2) = 3$ м/с.

Модуль скорости равен 3 м/с. Так как значение скорости положительно, то тело движется в положительном направлении оси Y.

Ответ: мгновенная скорость в моменты времени $t=0$ и $t=2$ с одинакова, ее модуль равен 3 м/с, а направление совпадает с положительным направлением оси Y.

Определите средние скорости (модуль и направление) тела за первую и вторую секунды движения.

Средняя скорость $$ за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$ определяется как отношение изменения координаты $\Delta y$ к этому промежутку времени $\Delta t$:

$ = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y(t_2) - y(t_1)}{t_2 - t_1}$

1. Средняя скорость за первую секунду (от $t_1=0$ с до $t_2=1$ с).

Найдем координаты тела в начальный и конечный моменты времени:

$y(0) = 2 + 3 \cdot 0 = 2$ м

$y(1) = 2 + 3 \cdot 1 = 5$ м

Вычислим среднюю скорость:

$ = \frac{y(1) - y(0)}{1 - 0} = \frac{5 - 2}{1} = 3$ м/с.

2. Средняя скорость за вторую секунду (от $t_1=1$ с до $t_2=2$ с).

Найдем координату тела в конечный момент времени (координата в $t_1=1$ с уже известна):

$y(2) = 2 + 3 \cdot 2 = 8$ м

Вычислим среднюю скорость:

$ = \frac{y(2) - y(1)}{2 - 1} = \frac{8 - 5}{1} = 3$ м/с.

Модули средних скоростей за первую и вторую секунды движения равны 3 м/с. Так как значения положительны, направление скоростей совпадает с положительным направлением оси Y.

Ответ: средняя скорость за первую секунду движения равна 3 м/с; средняя скорость за вторую секунду движения также равна 3 м/с. В обоих случаях скорость направлена в положительную сторону оси Y.

Сравните полученные результаты.

Сравним все вычисленные значения скоростей:

Мгновенная скорость при $t=0$ с: $v(0) = 3$ м/с.

Мгновенная скорость при $t=2$ с: $v(2) = 3$ м/с.

Средняя скорость за первую секунду: $ = 3$ м/с.

Средняя скорость за вторую секунду: $ = 3$ м/с.

Все полученные значения скоростей равны между собой: $v(0) = v(2) = = = 3$ м/с.

Это является свойством равномерного прямолинейного движения: мгновенная скорость в любой момент времени равна средней скорости за любой промежуток времени.

Ответ: мгновенные и средние скорости тела равны между собой, их модуль составляет 3 м/с, а направление совпадает с положительным направлением оси Y, что является признаком равномерного прямолинейного движения.